Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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1) Si formino le derivate, o semiderivate, parziali del primo
membro dell' equazione della curva rispetto ad x, y, si sostitui-
scano in quelle le coordinate del punto di contatto, si moltipli-
chino ordinatamente i valori ottenuti per x — x' ed y — y',
e si uguagli a zero la somma dei prodotti (cfr. n.° 149, (3'));
in simboli
(ttux' -{- ay2y' -i-a,3)(x — x')-{- (a^,x'-^ a.,y' -f «^23) (y — 2/') = 0.
2) Nella equazione della curva si sostituiscano:
al posto di x''^, 2 a:?/, ?/^, 2x, 2y,
rispettivamente xx', xy' -\- yx'^ yy\ x -{- x' , y -[- y\
e si troverà l'equazione sotto la forma
a^^xx' -f ai2{xy' + yx') + a,,,,yy' -f ay,{x -j- x')
+ a,,{y -f- y') -f ^33 = 0.
In un modo nell'altro, il lettore vedrà ad es. che la co-
nica passante per l'origine
Uiix''^ -\- ^ay^xy -f- a-^y'^ -\- ^a^^x -j- ^a-r^y =
ha come tangente ivi la retta
a,^x -f «23^ = 0,
la cui equazione si ottiene annullando l'insieme dei termini a
primo grado dell' equazione della curva (^).
199. Coppia di tangenti ad una conica uscenti da un punto.
— Ritornando alla (2), abbandoniamo la ipotesi che P'(x', y', s')
sia un punto della curva (1). Se P(a?, y^ z) è un punto qual-
siasi di una tangente condotta per P' alla conica, le due inter-
sezioni Qi, Qz della retta PP' colla conica coincidono, e quindi
l'equazione (2) ha una radice doppia. Ora, perchè ciò accada,
deve essere
^ //a?, y, z\ l^ _
(5) f{x, y, z)
y'
. f{x', y', z') - \ f ('') '^^ ')
( \x , y , z J )
Questa è una equazione di secondo grado in x, y,
(' = 0.
Dunque
soddisfatta dalle coordinate di ogni
2", la quale è
punto P situato sopra una
tangente condotta alla conica dal punto fisso P' .
la
(5) rappresenta il gruppo delle tangenti uscenti da P', anzi
(^) Un altro esempio è offei*to dall'equazione della tangente ad un
cerchio; n.° 154.