Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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294. Nuova forma della condizione perchè tre piani appartengano
ad un fascio, o quattro piani ad una stella. —
Conviene talvolta presentare sotto la forma seguente alcune
condizioni sopra enunciate (^):
Condizione necessaria e sufficiente, affinchè tre piani appar-
tengano ad un fascio, o quattro piani ad una stella, è che si possa
formare colle equazioni di quei piani, adoperando parametri non
tutti nulli, una tale combinazione lineare, che sta verificata iden-
ticamente (cioè per valori arbitrari di x, y, z).
Infatti, se indichiamo per brevità con L, M, . . . dei poli-
nomi lineari in x, ?/, z, e quindi con iy = 0, If = 0,
. . . le
equazioni di certi piani, il verificarsi di una identità del tipo
XL + fiM -\- vN =z 0,
ossia (supposto ad es. i ^ 0) L ^ '^M j-N, significa
che il polinomio L è una combinazione lineare dei polinomi
M, N, e quindi (n." 288) che il piano iy = appartiene al
fascio dei piani IT = 0, ^ = ; e viceversa. Analogamente
si procede, quando si tratti di quattro piani di una stella.
Dati quattro piani non appartenenti ad una stella, mediante
una conveniente combinazione lineare delle loro equazioni si può
rappresentare un piano arbitrariamente assegnato. Si dimostra
come l'analogo teorema di geometria piana (n.° 109).
Esercizi I — 1). Segnati sul foglio di disegno le immagini dei tre
assi cartesiani, si rappresentino i punti, le cui coordinate sono: (0, 1, 2),
(1, 0, - 1), (2, 1, 0), (1, - 1, 1) (2).
2) Trovare l' equazione del piano determinato : a) dai tre punti (2,
^— 1,1),
(1, 1, — 1), (— 1, 0, 1) ; b) dal punto (2, 1, — 1) e dalla retta x = 2z -\- 1,
y = z -{- 3.
3) Trovare l'equazione del piano: a) passante per i punti (2, — 1, 1),
(1, 1, — 1) e parallelo alla retta x = — y = z-^ b) passante per il punto
(2, — 1, 1) e parallelo al piano x -{- 2y -}- z -\- 1 = 0; e) passante per il
(^) Cfr. Geometria piana, n.° 108.
(*) La figura disegnata può riguardarsi come una proiezione della figura nello
spazio da un punto improprio Conoscendo le posizioni, rispetto al foglio, dei tre assi
e del centro di proiezione, si potrebbero calcolare i rapporti, secondo cui vengono alte-
rati tre segmenti uguali ad 1 situati sugli assi. Se invece sono arbitrari gli assi obiettivi
ed il centro di proiezione, quei rapporti possono (come si dimostra) esser scelti ad
arbitrio. Si può dunque, anche nel disegno, assumere un unico segmento come unità di
misura sullo proiezioni degli assi x, y, a.
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