Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 14 — a) V n.gono completo^ figura costituita da n punti (^vertici) di cui mai tre siano allineati, e dalle -ii"~ rette indefinite (lati) che congiungono quei punti a due a due; è) r n.latero completo^ figura costituita da n rette (lati), di cui mai tre concorrano in un punto, e dagli « ( M — 1 ) (vertici) in cui quelle rette si segano a due a due. 1 casi più semplici corrispondono ai valori ii = punti 3 (triangolo o trilatero ordinario, coli' avvertenza che i vertici o lati possono anche essere impropri, ed in ogni caso i lati si intendono prolungati all'infinito), ed n = 4; fermiamoci su quest'ultimo. Il quadrangolo completo possiede quattro vertici A, B, C, D, e sei lati AB, AC, AD, BC, BD, CD. Due lati;, come AB e CD non aventi un vertice in comune, diconsi opposti; ed il punto M in cui si segano si dice punto diagonale. Si hanno tre coppie di lati opposti e quindi tre punti diagonali, M, il punto AC BD ^ N Q ì\ punto - AD BC=P; il triangolo MNP che essi formano, dicesi triangolo diagonale del quadrangolo completo. Il quadrilatero completo (Carnot, 1801) invece possiede quattro lati a, h, e, d e sei vertici ab, a e, ad, he, bd, ed, i quali si raggruppano in tre coppie di vertici opposti ab e ed, ac e bd, ad e bc; le rette ab • ac • bd ^^ n, ad • bc^ ed ^^ m, p, che congiungono vertici opposti, sono le rette diagonali del quadrilatero completo, e formano il trilatero diagonale.
— 15 — a') Ritornando alla figura determinata da n punti di un piano, se questi si considerano in un determinato ordine, e si congiunge ciascun punto col consecutivo, e V ultimo col primo si ottiene un n.gono semplice^ figura che possiede n vertici ed n lati. 6') Similmente si definisce V n.latero semplice (n lati ed n vertici), figura che non differisce dall" n.gono semplice. Finalmente partendo da n rette o da n piani di una stella si determinano in modo analogo a quello esposto in a) e b) due figure corrispondenti per dualità nella stella, e precisamente : e) V angoloide n. spigolo completo che possiede n spigoli e —-^—^ facce e corrisponde per dualità nello spazio all' n. latero piano completo ; d) V angoloide n. edro completo che possiede n (accie e "^"-p-- spigoli^ e corrisponde per dualità nello spazio all' n.gono piano completo. III. Nelle forme di terza specie (spazio di punti e di piani) si possono definire due figure corrispondentisi per dualità nello spazio : a) V n. gono sghembo completo (n vertici, ^-^^—'- lati o spigoli, " '"~g •* facce). b) V n.edro sghembo completo {n facce, ~~-^^—^ lati o spigoli, n{n— ^Hw— vertici). Lasciamo al lettore la cura di completare, guidato dalla analogia, queste ultime definizioni a cui non avremo occasione di ricorrere in seguito. Esercizi. — 1) Enumerare i casi a cui danno luogo il triangolo, quadrangolo, quadrilatero, tetraedro . . . quando si suppongono impropri uno o piìi vertici, lati, facce, punti o rette diagonali. Come si ottiene il parallelogramma quale caso particolare del quadrilatero completo ? come è costituito il trilatero diagonale ? E se il parallelogramma si riguarda come caso particolare del quadrangolo completo, quali ne saranno i lati, i punti diagonali? 2) Se in un quadrangolo completo due coppie di lati opposti si compongono di rette ortogonali, anche la terza coppia si comporrà di rette ortogonali; il quadrangolo in tal caso si dice ortogonale. 3) Coi vertici (o lati) di un quadrangolo (o quadrilatero) completo si possono formare tre diversi quadrangoli (o quadrilateri) semplici. Come si estende questa osservazione al caso di un m. gono (o «.latero) per n > 4?
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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I — 277 — 7t^ n\ proiettando i
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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- 470 — dove si suppone precisame
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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