Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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289. Equazioni di una retta nello spazio. — Riprendiamo
due equazioni lineari
^^
i ax -\- by -^ cz -\- d = 0,
\ a'x 4- h'y -j- c'z \- d' = 0,
rappresentanti due piani, che supporremo distinti e non paralleli.
Ad ogni soluzione (e, y, z) del sistema (1) corrisponde un
punto, che appartiene alla retta r intersezione dei due piani ;
e, viceversa, ogni punto di r ha coordinate soddisfacenti le (1).
Diremo perciò che il sistema (1) rappresenta la retta r ; una retta
nello spazio è rappresentata da due equazioni lineari^ le quali,
prese isolatamente, rappresentano due piani passanti per la retta.
E chiaro che la stessa retta r potrà rappresentarsi mediante
due equazioni, che si ottengano dalle (1) formando due combi-
nazioni lineari distinte (n.° 288). Possiamo disporre dei relativi
parametri in guisa da eliminare una volta y, ed una seconda
volta X, fra le (1). Otteniamo così le due equazioni
j (ab' — a'b) x + {cb' — c'b) z + {db' — d'h) = 0,
\ {ba' — b'a) y-j- {co.' — C a) z-^{da' — d'a) = 0.
E però da notare che le operazioni eseguite non sarebbero
lecite, se 6 e 6', oppure a ed a', si annullassero insieme; inol-
tre, che, se ab' — a'b fosse nullo, le due equazioni ora scritte
sarebbero equivalenti, e rappresenterebbero un unico piano pas-
sante per la retta r e parallelo al piano xy ; la retta stessa
sarebbe parallela ad xy (o vi
giacerebbe). Supposto dunque
che ab' — a'b 4-- 0, vale a dire,
che la retta r non sia parallela
al piano xy (ne vi giaccia), noi
possiamo porre le equazioni di
r sotto la forma (!'). Conviene
anzi risolvere le (1') rispetto
ad X, y ordinatamente, e scri-
verle cosi:
'
^ X = Iz + 2>,
f y =z mz -\- q.
Le (2) si chiamano talvolta equazioni ridotte della retta;
esse, isolatamente, rappresentano i piani proiettanti la retta r
dai punti all' infinito degli assi y, x rispettivamente, od anche,