Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

— Te-
tre punti A% B', C formanti con D un doppio rapporto (A'B'C'D) di
valore assegnato. Esaminare il caso particolare che sia improprio D od
una delle tre rette date.
8) Dedurre dall' es. 6) la dimostrazione del teorema: « il doppio rap-
porto dei quattro punti in cui le facce di un tetraedro vengono segate da
una retta, è uguale al doppio rapporto dei quattro piani proiettanti dalla
retta i vertici opposti del tetraedro ».
9) Dimostrare il risultato del n°. 45 senza eseguir calcoli, fondandosi
sulla osservazione (n.° 42) che il sistema delle ascisse può ottenersi come
proiezione da un sistema di coordinate proiettive.
47. Gruppi armonici. — I sei doppi rapporti nominati al
n.° 46, sebbene in generale distinti tra loro, possono coinci-
dere in parte per valori particolari di k. Cosi risulta ad es.
{ABCD) = {ABDC),
quando sia
k =z ossia k^ =z 1, k = it 1,
'
k
Esaminiamo staccatamente i due casi.
Se è
allora o A e B sono distinti, ma C coincide con D (n." 31),
oppure A e B coincidono tra loro. Se il doppio rapporto di
quattro elementi vale 1, o il primo elemento coincide col secondo,
il terzo col quarto, e viceversa.
Se invece
k = {ABCD) = — 1,
i quattro elementi sono generalmente distinti, e formano un
gruppo che per le sue notevoli proprietà ricevette un nome
speciale.
Si dice che quattro elementi A, B, C, D di una forma di
prima specie formano un gruppo armonico, o sono armonici,
quando il loro doppio rapporto {ABCD) vale — 1. In questa
definizione non è indifferente l'ordine degli elementi. Segue
tuttavia dal n.*' 46 che se ABCD è un gruppo armonico, sono
pure armonici i gruppi ABDC, BACD, BADC, CD AB,...,
insomma ABCD ed i sette gruppi che da esso si ottengono
con uno o più scambi dei due primi o dei due ultimi elementi,
o della coppia dei due primi colla coppia dei due ultimi. Perciò
i due primi elementi A