Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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è tangente a K) i}). (Infatti le punteggiate segate da BB\ CC ... su A A',
e da AB'. AC . . . sull'asse di proiettività risultano proiettive ... ; dove sta
il punto di contatto ài Kq con AA'?). Teorema duale.
36) Viceversa: se due coniche K, Kq sono bitangenti (od hanno un
contatto quadripunto), le tangenti a Kq determinano su K, ove la incon-
trino, coppie A A', B B' . . . ài punti corrispondentisi in una proiettività.
Teorema duale.
37) Dall' es. 35) seguono i corollari: «Le corde di una conica, che sono
viste da un punto ài questa sotto angolo costante, inviluppano una se-
conda conica bitangente alla data in due punti (immaginari), le cui tan-
genti si segano nel punto di Frégier relativo ad 0» (n.° 222, es. 13)).
« Il luogo del vertice di un angolo di grandezza costante circoscritto ad
una parabola è una conica, e precisamente una iperbole, i cui asintoti
formano un angolo doppio del dato» (Poncelet); si dimostra poi che il
fuoco e la direttrice (polare di esso) relativi alla parabola, sono pure fuoco
e direttrice della iperbole.
38) Le corde di una conica K, i cui estremi sono proiettati da un
punto 0, non appartenente a K, mediante coppie di una involuzione, inviluppano
una seconda conica Kq, la quale tocca le rette doppie della invo-
luzione nei punti ove queste segano la polare di rispetto a K. (Siano
infatti OMN, OM'N' due secanti di K coniugate nella involuzione; una
retta t, che seghi K in due punti proiettati da mediante una seconda
coppia della involuzione, incontra pure le rette MM', NJV' in due punti
godenti la stessa proprietà (n.*^223), i quali al variare di t descrivono due
punteggiate proiettive, ecc.).
39) Segue il corollario: «Le corde di una conica K che sono viste
sotto angolo retto da un punto 0, non appartenente a quella, inviluppano
una seconda conica Kq, che ha un fuoco in 0, e come polare di (diret-
trice) la polare di rispetto a K>^. La conica Kq è un cerchio col centro
in 0, se è centro (polo della retta all'infinito) per la prima conica; è
una parabola, se la prima conica è una iperbole equilatera ; degenera, se i
due casi si presentano insieme.
40) Dal duale del teorema 38) si deduca: «il luogo del vertice di un
angolo retto circoscritto ad una ellisse, od iperbole, è un cerchio (concen-
trico alla curva), detto cerchio principale» (De La Hire). Per la parabola
il luogo è una retta (n.° 222, es. 14)).
VII. — 41) « Le polari di un punto P rispetto alle coniche di un fascio
formano un fascio intorno ad un punto P' {polo coniugato di P) (cfr. n.** 89,
es. 9)); e le polari di P' passano per P», sicché tra i punti P e P'
viene a stabilirsi una corrispondenza (non proiettiva) biunivoca e involu-
toria (^). Le coniche del fascio che passano per P, o P', toccano ivi la retta PP'.
Fa eccezione solo il caso che il punto P sia vertice del triangolo autopolare
(') L'inviluppo si riduce ad un fascio, se la proiettività è involutoria (n." 222,
es. 12)).
O Come degenera la corrispondenza se si tratta di un fascio-schiera ( n.° 231) ?