Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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rappresentante un cono col vertice nelF origine (n.° 358), rife-
rito ai tre piani principali. Il cono ha tutti i punti immaginari,
fuori del vertice {coìio immaginario^^ se «n, «22, «^33 hanno
lo stesso segno, giacché non si può allora soddisfare la (1')
con valori reali, diversi da zero, di re, y,
z. Il cono (!') ha
invece infiniti punti reali {cono realé)^ se uno dei coefficienti
della (1') ha segno opposto agli altri due. Notiamo inoltre che,
se due coefficienti della (!') sono uguali, ad es. se «n = a.^^,
il cono è rotondo intorno ad un asse coordinato, che, nel caso
presente, è quello delle 0, giacche ogni piano z =z k^ perpen-
dicolare a questo asse, sega il cono (!') lungo il cerchio
«ii("C' + y') "T «^as^*" = 0, che ha il centro sopra Tasse stesso.
Se fosse invece, nella (1), «33 = 0, si avrebbe il cilindro
(1") a^x' + a^^y- -|- a,, ==
colle generatrici parallele all'asse z^ cilindro ellittico od iperbolico^
secondo che la (1"), nel piano xy^ rappresenta una ellisse od
una iperbole, secondo che dunque «u ed a.» hanno segni uguali
od opposti. In particolare, se a^ = a,., si ha un cilindro
rotondo.
Sarebbe facile similmente esaminare gli ulteriori casi di
degenerazione, che si presentano, se due o tre coefficienti della
(1)
lettore.
si annullano; ma questa ricerca può essere lasciata al
Supposto ora che tutti i coefficienti della (1) siano diversi
da zero, la (1), mediante divisione dei due membri per — au ,
assume la forma
(2) mx^ -j- 7iy^ -}- pz'~ = 1,
dove m, n, p sono tre quantità reali, non nulle. Riguardo ai
loro segni, si possono fare le seguenti ipotesi, essenzialmente
distinte tra loro, alle quali ogni altra può ridursi, scambiando
opportunemente i nomi degli assi coordinati :
m n p
I.
~f" + ~f" Ellissoide reale,
II- — — — Ellissoide immaginario,
ni. -h -{- — Iperboloide ad una falda,
rV. -j- — — Iperboloide a due falde.