Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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E, più generalmente, si può dire che le (1), colla condi-
zione (2), definiscono una proiettività fra due forme qualisivo-
gliano di seconda specie, purché si riguardino (x,y,z)ed{x\y'jZ')
come coordinate proiettive degli elementi che si suppongono
generare le due forme.
Osservazione. — Si noterà che le stesse equazioni (1) (for-
manti, come si disse, una sostituzione lineare ed omogenea fra
due terne di variabili) danno luogo a due interpretazioni geome-
triche; giacché esse servono a rappresentare, sia una trasforma-
zione di coordinate proiettive in una unica forma di seconda
specie, sia una proiettività fra due forme di seconda specie. La
ragione di questa doppia interpretazione risulta dalle cose dette.
171. Ancora sulle equazioni della collineazione. — Dimo-
striamo ora direttamente, sebbene ciò risulti dal n.*' precedente,
che tre relazioni del tipo (dove q è un fattore di proporziona-
lità, non nullo)
i Qx' = a^^x + «12?/ + «i3^j
(1) l Qy' = «21^ + «22^ + «23^,
(
QS' = a^^X + «3277 -f «33^,
colla condizione che il determinante delle a,/, non sia nullo,
(2)
^ ^ 0,
definiscono sempre una collineazione fra i piani n e 7t' descritti
rispettivamente dai punti P & P'^ aventi le coordinate omogenee
(cartesiane o proiettive) (a;, y, z) e {x\ y\ z').
Osserviamo in primo luogo che a tre numeri x, y,
z, non
tutti nulli, corrispondono, in virtù delle (1), tre numeri x',y',z\
definiti a meno del fattore di proporzionalità q, e certo non tutti
nulli, giacché per la (2) i tre trinomi a secondo membro delle
(1) non possono annullarsi insieme. Dunque ad ogni punto P
di II corrisponde un punto P' di ti'.
Se poi risolviamo le (1) rispetto ad x, y, z (per il che
basta sommare membro a membro le (1), dopo averle moltipli-
cate rispettivamente per i complementi algebrici degli elementi
di una verticale nel determinante J.), otteniamo le relazioni
ox = A^^x' -f A^^y' + A^^z',
(3) { ay — A,^x' -f- ^22^' + ^32^',
oz = Ai^x' 4- A^sy' + Assz',