Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 256 — qualsiasi (8) del fascio. Detto q il segmento di tangente compreso fra P e il cerchio, sarà q'^ uguale alla potenza di P '"^ un cerchio, la cui equazione si trova essere ^ rispetto al cerchio (8), ossia (n.° 153) q' = h-' + 7, valore indipendente da k, cioè dal particolare cerchio considerato nel fascio, come era pre- vedibile ricordando la proprietà dell' asse radicale. Con centro P e raggio q descriviamo (9) _|_ y2 _. 2hy - y = 0. Questo cerchio, qualunque sia h, taglia ortogonalmente il cerchio (8) corrispondente ad un valore arbitrario di k; ciò risulta subito dalla costruzione geometrica eseguita, e si veri- fica analiticamente ricordando la condizione di ortogonalità (6) (n." 157). Al variare di h il cerchio (9) descrive pure un fascio, di cui però l'asse centrale è l'asse y, mentre l'asse radicale è l'asse X ; inoltre i punti base del nuovo fascio hanno le coordinate (db |/y, 0) e quindi coincidono coi punti limite del fascio (8), mentre i punti limite del fascio (9), di coordinate (0, ± y — y), coincidono coi punti base del fascio (8). Concludiamo: Ad ogni fascio di cerchi non concentrici è coniugato un secondo fascio di cerchi, i quali segano ortogonalmente i cerchi del primo fascio; i due fasci sono così situati che V asse radicale ed i punti base di ciascuno sono asse centrale e punti limite per l'altro fascio. Si suol dire talvolta che i due fasci costitui- scono un sistema doppio ortogonale di cerchi (^), Per ogni punto T del piano passa un cerchio del primo fascio ed uno del secondo; ed i due parametri k ed h relativi ai due cerchi nomi- ci) Se il primo fascio sì compoaesse di cerchi concentrici, il secondo dovrebbe riguardarsi costituito dalle infinite rette uscenti dal centro comune, ciascuna presa insieme alla retta all' infinito.
— 257 — nati potrebbero riguardarsi come coordinate del punto T in un nuovo sistema di coordinate; si avrebbe così un esempio della nozione di sistema generale di coordinate esposta nel n." 145. 160. Centro radicale di tre cerchi. -— Relativamente al sistema di tre cerchi di un piano limitiamoci a dimostrare il teorema seguente: / tre assi radicali di tre cerchi arbitrari (non formanti fascio), presi a due a due^ passano per uno stesso punto, che ha uguale potenza rispetto ai tre cerchi, e dicesi centro radicale di questi. Infatti se 8 = 0, S' = 0, 8" = sono le equazioni normali dei tre cerchi, i tre assi radicali hanno le equazioni ^ — ^' = 0, 8' — 8" = 0, 8" — 8 = 0, che sommate membro a membro danno una identità, donde segue il teorema (n." 108). Esercizi. I — 1) Scrivere la equazione di un cerchio il quale soddisfi ad uno dei seguenti gruppi di condizioni: a) ha per centro il punto (2, 3) e passa per il punto (— 1, 6); b) passa per rorigine e per i punti (2, 0), (0, — 3); e) passa per l'origine toccando ivi la retta 2x -{- 3y = Oe passa inoltre per il punto (— 1, 0); d) passa per i punti di ascisse 2, 3 suir asse x e tocca l'asse y; e) passa per il punto (2, 3) e tocca i due assi coordinati; f) tocca gli assi coordinati e la retta 2x -f- ;y — 5 = 0. Quanti cerchi soddisfano alle condizioni imposte ? Dei detti cerchi determinare il centro e le intersezioni incognite cogli assi; per il cerchio f) determinare il punto di contatto colla tangente indicata. 2) Determinare le intersezioni del cerchio a) dell' es. precedente colla retta 2x -\- Sy — 6 = 0. Determinare le intersezioni dei due cerchi a), b). 3) Condurre la tangente al cerchio a) nel punto — ( 1, 6 ); al cerchio b) in ciascuno dei tre punti che lo individuano. 4) Determinare le tangenti al cerchio x^ -\- y^ = r^ che sono pa- rallele ad una retta assegnata ax -\~ by = 0. Dedurre di qua l'equazione in coordinate pliickeriane dell' invihippo delle tangenti al cerchio ( equazione tangenziale del cerchio; cfi-. n.° 151, es. 17)). 5) Condurre le tangenti al cerchio precedente da un punto (Xo, y o) assegnato ; qual' è l'equaziojie della retta ( sempre reale) congiungente i due punti di contatto {-polare del punto dato)? Qual'è l'angolo racchiuso dalle due tangenti? 6) Luogo del punto da cui un dato cerchio x^ -\- y'^ = r^è visto sotto un angolo assegnato (racchiuso dalle due tangenti); in particolare, sotto un angolo retto. , 17
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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