Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 320 — quale annulli tutti gli elementi del determinante (6), vale a dire, verifichi le nove relazioni (7) au — ka,i = 0. (i, l = 1, 2, 3) Per questo valore di k le tre equazioni (5) diventano identità, e sono soddisfatte dalle coordinate di ogni punto del piano; sicché ogni punto corrisponde doppiamente ad una retta; e la correlazione K è identica alla sua inversa K , è, come diremo, involutoria, e soddisfa dunque al problema 2). Ora, se uno almeno dei tre elementi principali «u, «22, «^33 del determinante A non è nullo, la corrispondente relazione (compresa nelle (7)) determina A; = 1; e a,, — kaa = questo valore, sostituito nelle altre relazioni (8) (7), ci dà a il = aii. (i, Z = 1, 2, 3) Concludiamo che il determinante A della correlazione è, in tal casO;, simmetrico. Se invece «11= «22= «33 = Oj dovrà esser diverso da zero qualcuno degli altri elementi del determinante A, perchè si suppone sempre J. =4= 0. Sia, per es., «12 4= 0; allora una delle (7) 0^12 — A:«2i = ci dice anzitutto che k ed a 21 sono diversi da zero. Moltipli- cando ora, membro a membro, la stessa relazione scritta sotto la forma «12 = ^«21; per l'analoga a 21 = ^«12, che è pur compresa fra le (7), si ottiene subito k^ = 1, ossia k := zh 1. La soluzione k = 1 ci dice nuovamente che A è simmetrico. La k =^ — 1 ci dà invece (8') «a- = 0, o,n = — au, (i, l = 1, 2, 3) e conduce ad un determinante A emisimmetrico. Ma è noto che un determinante emisimmetrico d'ordine dispari è nullo Q)\ i ! 1 :>- r ' )f 1;) f : , 0) V. ad es. il Corso di Analisi algebrica del Cesaro (1894) pag. 35. Per un determinante del 3° ordine la proprietà si verifica subito mediante sviluppo.
— 321 — e perchè noi supponiamo J. =t= 0, dobbiamo respingere le soluzioni (8'). Concludiamo infine che: Condizione necessaria e sufficiente affinchè una correlazione fra due piani sovrapposti sia involutoria^ è che il determinante della sostituzione lineare rappresentante la correlazione sia simmetrico. 188. Polarità piana. — Una correlazione involutoria fra due piani sovrapposti si chiama correlazione polare^ o brevemente polarità (piana). Essa è rappresentata da equazioni del tipo / QU = auX + «12^ + «13^, (1) } QV =: a.>,x -\- a.ny -\- a^^z^ (a,-, = au) colla condizione ^ QW = a-iT,X -p «32?/ + «332^, (2) ^ =*= 0. Un punto P {x, y^ z) ed una retta p{u^ v, w) corrispon- dentisi (doppiamente) nella polarità, si dicono rispettivamente polo di p Q polare di P. È inutile distinguere in quale dei due piani si consideri il polo o la polare. Se un secondo punto Q ha per polare q^ e Q appartiene a p, dovrà (per la proprietà fondamentale della correlazione) q appartenere a P. Dunque: Se di due punti il secondo appartiene alla polare del primo, il primo apparterrà alla polare del secondo] ì due punti diconsi coniugati, o reciproci, nella po- larità. Un punto ha dunque una sola polare, ma infiniti punti ad esso coniugati (tutti i punti della detta polare). Se un punto descrive uyia punteggiata sopra una retta, la polare del punto ruota intorno al polo della retta, generando un fascio proiettivo (n.° 167) alla detta punteggiata. Se di due rette la seconda jjassa per il polo della prima, la prima passerà per il polo della seconda; le due rette diconsi coniugate, o reciproche, nella polarità. Una retta ha dunque un solo polo, ma infinite rette ad essa coniugate (tutte le rette per il detto polo). Se una retta descrive un fascio intorno ad un punto, il polo della retta percorre la polare del punto, generando una punteggiata proiettiva (n.** 167) al detto fascio. 21
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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