Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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I piani ciclici di un fascio segano la quadrica lungo cer-
chi, i cui centri stanno sopra il diametro coniugato con quei
piani, cioè sulla retta polare della retta impropria comune ai
piani stessi (n.° 374). Poiché quest' ultima retta passa per il
punto improprio di un asse della quadrica, quel diametro gia-
cerà nel piano principale perpendicolare all' asse. In corrispon-
denza ai sei fasci di piani ciclici, avremo dunque sei diame-
tri, giacenti, a coppie, nei tre piani principali della quadrica;
tra questi diametri, due soli sono reali, e stanno in uno stesso
piano principale. Ciascuno dei sei diametri incontra la quadrica
in due punti, reali o immaginari, i cui piani tangenti segano
la superficie lungo cerchi di raggio nullo, vale a dire lungo
coppie di direzioni assolute (n.*^ 143). Ora un punto di una
quadrica, il cui piano tangente seghi la superfìcie lungo due
rette aventi direzioni assolute, dicesi punto circolare od ombe-
lico ; in esso la involuzione delle tangenti coniugate (n° 354)
è circolare. Concludiamo :
Una quadrica a centro possiede dodici ombelichi, situati a
coppie sopra sei diametri; ogni piano principale contiene quat-
tro di quei punti. Dei dodici ombelichi, quattro al più sono reali,
e stanno in uno stesso piano principale (perpendicolare all'asse
per cui passano due piani ciclici reali). Precisamente, ricor-
dando le relazioni tra rette polari esposte al n.° 367, si di-
mostra che una quadrica a punti ellittici possiede effettivamente
quattro ombelichi reali, mentre sopra una quadrica a punti iper-
bolici gli ombelichi sono tutti immaginari; (ciò è chiaro, perchè
un ombelico reale è un punto ellittico). La sfera naturalmente
non è compresa in questo enunciato, giacché ogni punto di
essa è un ombelico.
Vediamo ora come questi risultati si modifichino nel caso
dei paraboloidi. La conica all'infinito H^ di un paraboloide
si scinde, come sappiamo, in due rette, reali o immaginarie,
secondo che il paraboloide è iperbolico od ellittico. Queste costituiscono
una coppia di lati opposti del quadrangolo MM'NN'
sopra considerato ; ma i piani passanti per una di quelle rette
non segano il paraboloide lungo cerchi propriamente detti,
bensì lungo la retta impropria nominata ed una retta propria.
Scartando questi piani, risulta che un paraboloide possiede