Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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G. CASTELNUOVO Professore alV Università, di Monta LEZIONI ^ GEOMBTRIA ANALITICA E PROIETTIVA Volume I (Forme di prima specie ~ Geometria analitica del piano Curve dì secondo ordine). ROMA-MILANO SOCIETÀ EDITRICE DANTE ALIGHIERI DI ALBRIGHI, SEGATI e C. 1904
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Page 13: procurando sempre, e cogli esercizi
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— 44 — 23. Sistema di coordinat
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— 46 — Similmente si procede qu
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— 48 — 5) Date (mediante le asc
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— sola retta mobile da o in a,
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- 52 — Osservazione. — Fissato
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— 54 — mero reale r e noti i du
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— 56 — In base a questa osserva
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58 Se invece S è punto proprio, al
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— 60 — tanti i punti stessi da
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— 62 — La condizione è suffice
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— 64 — III. — 17) Se tre punt
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— 66 — Se si bada che ti' è un
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— 68 — tanti i quattro punti A^
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— 70 — definirsi nel seguente m
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— 72 — Per dimostrare la second
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— 74: — scambiano fra loro due
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— Te- tre punti A% B', C formanti
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— 78 — dal centro P. Dunque il
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— 80 — 50. Relazioni fra le mut
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— 82 — 51. Oruppi armonici di r
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— 84 — una coordinata nota k =
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— 86 — b) date due rette parall
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— 88 — Ai punti (o elementi) im
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— 90 — sicché ad una coppia di
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— 92 — una forma di prima speci
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— 94 — corrispondono ordinatame
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— 96 — come elementi fondamenta
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— 98 -- riferite proiettivamente
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ossia Posto ora — 100 — a — X
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— 102 — Le (1") definiscono, co
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— 104 — rispondente alla origin
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— 106 — generalmente, determina
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— 108 — a tre elementi del sost
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— 110 — A, B, Ce A', B', C di p
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— 112 nata cosila proiettività (
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— 114 — si possono ripetere, as
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— 116 — 6) Date due punteggiate
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— 118 — e fornisce l'ascissa «
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— 120 — b) Procuriamoci ora una
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— 122 — di ascisse, mentre gli
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— 124 — due fasci di rette aven
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— 1^26 — La proposizione è cas
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— 128 — fra i punti dei due'pia
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— 130 — nello stesso modo l'uno
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— 132 — le coordinate note di d
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— 134 — Una prima soluzione si
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— 136 — che, se ^^ ~ aò = 0, e
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— 138 — Dato comunque il polo,
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— 140 — Segando una simmetria n
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— 142 — mare che i punti stessi
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— 144 — Esercizi. I - l) Costru
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— 146 — BE', Od' appartengono a
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— 148 — e potremo quindi costru
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— 150 — quella proiettività d
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— 152 — xiui = ~ xnui (mod. Ji)
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— 154 — forma di prima specie,
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— 156 — sono definirsi mediante
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— 158 — Sebbene nelle opere dei
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— 160 — mente dalle altre rette
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— 162 — allineamento, anche qua
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— 164 — Quindi: 56 nell'equazio
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— 166 — anche porsi (quando a'
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— 168 — al fascio; vedremo subi
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— 170 — equazione lineare in x^
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— 172 — Le rette l" = LL", m" =
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174 — Capitolo II. Distanze, ango
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— 176 — e) Se si eseguiscono pr
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— 178 — e facendo coincidere la
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— 180 — (se h ^ 0). Preso su s
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— 182 — dove e' = CQ e una cost
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— 184 — p è noto. Quanto a 7?'
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— 186 — e tenendo conto dei val
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. — 188 — fisso in verso positi
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— 190 — e la distanza di Pi da
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— 192 — E reale la retta congiu
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— 194 — b) due bisettrici ester
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— 196 — Capitolo III. Trasforma
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(2) — 198 — Le due forinole ora
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— 200 — passante per P. Vicever
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— 202 — il concetto, in guisa d
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— 204 — retta alV infinito. Vi
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— 206 — in coordinate cartesian
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— 208 — Questa definizione si t
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— 210 — zioni lineari è conseg
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e) Date tre rette mediante le loro
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— 214 — lati l, m, n del primo
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— 216 — Siano dunque x, y gli a
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— 218 — Risulta cosi che, m coo
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— 220 — e quindi le coordinate
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— 222 — Osservazione. — Consi
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— 224 — Le forinole (2) (dove s
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.— 226 Capitolo IV. Rappresentazi
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— 228 — una sola incognita /"(
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— 230 — curva è algebrica, e q
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— 232 — zioiii lineari ed omoge
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— 234 — la (2), rappresenta il
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— 236 — contengono A;, dai term
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— 238 — intersezioni di curve c
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— 240 — le quali (se x, y sono
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— 242 — la proprietà (n.*' 67)
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— 244 — definire un inviluppo d
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— 246 — Esercìzi (^) I — 1)
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— 248 — Capitolo V. Il cerchio
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— 250 — 154. Tangente ad un cer
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— 252 — sia soddisfatta dalle c
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— 254 — 158- Fascio di cerchi.
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— 256 — qualsiasi (8) del fasci
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— 258 — 7) Dato un cerchio medi
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— 260 — in generale, si può di
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— 262 — Notiamo la ipotesi a =
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— 264 — Detti F^ F' i due punti
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ossia, ponendo jr^^,- = a^, (3') ^
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— 268 — Da questa, colle note f
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— 270 — tre il punto appartiene
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in coordinate ortogonali, delle X i
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— 274 — e l'equazione cartesian
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— 276 — dal punto di contatto,
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— 278 — retta b si appartengono
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— 280 — se non si riuscisse a s
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— 282 — siano P, P' due punti c
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— 284 — gli infiniti sistemi di
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— 286 — E, più generalmente, s
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— ^88 — a membro la prima e sec
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— 290 — ha per corrispondente i
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— 292 — proiettivamente. Se que
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— 294 — I due piani sono uguali
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— 296 — Osservazione I. — Da
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— 298 — Ciò è chiaro intanto
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— 300 — Una omologia non specia
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— 302 — spondenti sono direttam
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— 304 — Se 37, y, z sono le coo
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— 306 •- mere il triangolo unit
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^ 308 ^ dove a e h sono costanti di
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— 310 — Od anche, poiché uno s
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— 312 — della iperbole; dove de
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— 314 — l'identità. Caso parti
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— 316 — una equazione bilineare
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— 318 — l' altro piano la equaz
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— 320 — quale annulli tutti gli
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— 322 — La condizione perchè d
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— 326 — Esercìzi. I. — 1) Co
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— 328 — Parte Terza. Curve di s
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— 330 — le sei quantità a a so
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— 332 — se i tre punti A, B, C
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— 334 — nuova definizione (ment
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~ 336 — 13) Come si comporta la c
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— 338 — coincide con P'. L'altr
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— 340 — la coppia di tangenti,
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— 344 — 203. Equazione tangenzi
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— 346 — che un punto esterno, o
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— 348 — considerazione non si e
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— 350 — Un analogo risultato va
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— 354 — parte il triangolo PQR
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— 356 — Vogliamo ora esaminare
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— 358 - Concludiamo che: una equa
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— 360 — versa, una retta non pa
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— 362 — una equazione lineare t
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— 364 — n." 37, es. 10) ) : «
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— 366 — conoscano cinque punti
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— 368 — colla «, se il punto j
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— 370 — e detta s la tangente i
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— 372 — L' analogia porta final
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— 374 — noto della curva (n.*'
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— 376 — 13) In particolare : le
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— 378 — Caso particolare metric
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— 380 — La determinazione anali
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— 382 — mio (3), donde il teore
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— 384 — * OsserTazione II. —
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— 386 — tati ottenuti dicendo c
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— 388 — (mentre per un punto de
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— 390 — di 1" grado; n.° 95 es
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— 392 — sopra ogni trasversale
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— 394 — comune a due, e quindi
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— 396 — 57) Nella rete stessa e
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— 398 — punti, ad es. Jf, if ',
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— 400 — asintoti; la involuzion
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— 402 — angoli degli asintoti,
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— 404 — dove (a^o, y^) sono le
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— 406 — si ricava di qua, e dal
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— 408 — spettivamente, l'asse y
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— 410 — dove m, n sono quantit
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— 412 — Gli asintoti della iper
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— 414 — 245. Iperbole riferita
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— 416 — L' equazione tangenzial
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— 418 — II. Una trasformazione
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— 420 — nella prima delle quali
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— 422 — coefficienti an, «22,
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— 424 — Paragonandoli cogli inv
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— 426 — 251. Significato geomet
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— 428 — la seconda delle quali
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— 430 — 12) Detto parametro rel
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— 432 — 22) Il luogo di un punt
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— 434 — 32) Se due punti Pi, P2
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— 436 — 254. Ricerca dei fuochi
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— 438 — 255. Alcune proprietà
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e infine — 440 — PF' — PF =
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Dunque: — 442 — a) Il luogo del
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e quindi (3) — 444 PF = x-^r \~ P
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— 446 — darlo come assi coordin
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— 448 — Per quanto riguarda le
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— 450 — III — 18) Il prodotto
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— 452 — schiera passanti per la
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— 454 — fatto accade qualunque
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— 456 — 264. Coniche omologiche
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8^^ BM • B'M' — 458 — cadono
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— 460 — a centro ; i fuochi cor
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— 462 — in S, e passi inoltre p
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— 464 — nità equivalenti si di
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APPENDICE I. Sui problemi geometric
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— 469 — Rispetto al sistema di
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— 471 — ^' = [1, a, ò, e, . .
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— 473 — La operazione grafica 1
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— 475 — 270. Sui problemi risol
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— 477 — Viceversa, ogni punto l
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— 479 — In base a questo teorem
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— 481 — struire un nuovo segmen
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— 483 — Collocata la riga in gu
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— 485 — che si ottiene eliminan
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— 487 — II. Il problema della t
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— 489 — noto il quale, è pur n
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— 491 — II. Raccolta di alcune
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493 Trasformazione delle coordinate
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— 495 — 31) Tangente nel punto
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Peopriktà letteraria DELLA Societ
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— 498 — A, B, C, sicché rimarr
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— 500 — nato opposto {yz)- Ragi
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— 502 — Di qua è facile ricava
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— 504 — Se nell'equazione (1) m
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— 506 — e, in particolare, se q
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— 508 — se si vuole, rappresent
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— 510 — la ricerca del punto ad
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~ 512 — Se le equazioni della ret
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— 514 — 294. Nuova forma della
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— 516 — 15) Se delle rette inte
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— 518 — che entrano nella relaz
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— 520 — 298. Relazioni angolari
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— 522 — mune alle tre frazioni
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— 524 — male n forma cogli assi
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— 526 — variabili, si sostituis
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— 528 — 305. Area di un triango
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. — 530 — tivo (cioè da siaist
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— 632 — danno i segmenti P,P',
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— 534 — terni relativi ai rimaa
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— 536 — un vettore (R) = AB (av
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— 538 — X, X; sia poi A il punt
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— 540 — semirette positive x, y
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— 542 — Per il passaggio invers
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— 644 — dalla rotazione intorno
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— 546 — la rimanente può, ad e
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— 548 — Questa particolare corr
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— 550 — la forma seguente, il r
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— 552 — nime del punto E^ il qu
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— 554 — Si dimostra allora, col
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— 556 — Capitolo IV. Rappresent
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— 558 — X =z a, y = b, z arbitr
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— 560 — rappresenta quei punti,
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— 562 — L' equazione (1'), conf
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— 564 — Fu osservato (n.° 190)
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— 566 — 21) I piani tangenti a
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— 568 — punto ad esse comuae,
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— 570 — punto generico di essa
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— 572 — rigata ; le infinite re
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— 574 — coordinata t. Come la e
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-- 580 — zionea;2 y'i -f = [f{z)]
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— 582 — Vuno spazio, corrispond
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— 584 — In altre parole: l'ordi
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— 586 — 334. Elementi uniti in
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— 588 — h) oppure, dei quattro
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— 590 — Se però la rotazione
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— 592 — La coesistenza dì ques
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— 594 — E facile indicare un ca
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— 596 Si dice inoltre che una ret
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— 598 — rette AA', BB',... sono
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— 600 — 14) I segmenti congiung
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— 602 — Parte Quinta. Superfìc
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— 604 — di secondo grado in z,
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— 606 — 2) può essere una coni
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— 608 — Consideriamo ora un sec
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— 610 — una quadrica, sega la q
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— 612 — riesce tangente alla qu
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— 614 — tenga alla superficie,
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— 616 — proprio piano polare, e
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— 618 — Due tangenti mutuamente
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— 620 — polare di P. Nel primo
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— 622 — appartenente alla quadr
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— 624 — piani; se finalmente si
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— 626 — Se la conica inviluppo
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— 628 — 12) In coordinate di pi
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— 630 — 24) Dal fatto che ogni
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— 632 — da P usciranno due rett
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— 634 — Per questa proprietà,
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— 636 — Viceversa : due fasci p
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— 638 — quadrica. Segue che una
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— 640 — piano xy{z = 0), il che
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che — 642 — Il ragionamento, ch
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~ 644 — il segno opposto (quadric
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— 646 — spigoli di un quadrilat
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— 648 — Capitolo III. Propriet
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— 650 — passanti per Ce» segan
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— 652 — corde (cfr. n.** 232).
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— 654 — P è centro della conic
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— 656 — mente si vede che il pi
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— 668 — Affinchè il piano (3')
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— 660 — certo -due diametri rea
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— 662 — ellittico od iperbolico
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— 664 — presenta, se una radice
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— 666 — Per determinare il tria
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— 668 — e per i centri delle qu
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— 670 — equazioni (2) rappresen
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— 672 — I nomi delle superficie
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— 674 — II). Passiamo alla ipot
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— 676 — Che r iperboloide ad un
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ossia y^ — 678 z^ _ . _j -L, ,, A
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— 680 — risultato, dalla stessa
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— 682 — Dunque i casi distinti,
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— 684 — il cui asse trasverso
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— 686 — il piano tangente alla
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— 688 — Tenendo conto delle for
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— 690 — (che altrimenti si aggi
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— 692 — cipali ; i coefficienti
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— 694 — Il coefficiente a '34 n
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(5) — 696 — Delle tre radici k^
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— 698 — facile però stabilire
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— — 700 — mole esprimenti que
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— 702 — stanza del centro dal r
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— 704 — I piani ciclici di un f
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„ 706 — r equazione cubica A {k
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— 708 — che presenta tanto inte
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situata nel piano 2; = ellisse real
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— 712 ~ piano xz lungo iperboli g
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— 714 — falda, ed un iperboloid
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— 716 — Alla schiera dei parabo
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— 718 — che come sezioni di con
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— 720 — II — 15) Il luogo dei
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— 722 — bilisce una uguaglianza
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Raccolta di alcune formole di Geome
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— 727 — 13) Coseni di direzione
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— 729 — Superfìcie particolari
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— 731 — 42) Equazione della qua
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— 734 -^ PARTE PRIMA Forme dì pr
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— 736 — 65. Equazione della pro
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-^ 738 — 118. Condizione di perpe
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— 740 — 172. Particolarità met
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— 742 — 225. Corollari del teor
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— 744 — 277. Il problema dei po
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— 746 — 333. Casi particolari m
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— 748 — 393. Effetto di partico
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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