Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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Concludiamo che una quadrica possiede, in generale, tre 'piani
principali.
Ma si può affermar di più, che questi piani sono sempre
reali. Basta perciò assicurarsi che siano tali le tre radici
A",, ko, ks della (5). Ora, che cosi sia, risulta da un noto teo-
rema d'algebra, il quale insegna che la equazione di grado n
(qui n = 3), ottenuta uguagliando a zero un determinante sim-
metrico di ordine n (ad elementi tutti reali), ai cui elementi
principali sia aggiunta la incognita (qui — k), ha tutte le sue
n radici reali (').
Però, nel caso presente, non occorre nemmeno ricorrere
a quel teorema, bastando al nostro scopo il ragionamento che
segue, nel quale dovremo tuttavia distinguere le quadriche a
centro dai paraboloidi.
379. Piani principali delle quadriche a centro. — Supposto
che la nostra superfìcie abbia un centro proprio 0, si osservi
anzitutto che è certo reale una delle radici dell'equazione (5), o
(5'), digrado dispari a coefficienti reali. A questa radice corri-
sponde un piano principale reale tt, piano proprio, giacché contiene
il centro C ; il diametro p coniugato a ti è, per ipotesi, per-
pendicolare a n (v. fig. di pag. 655). Il piano ji sega la quadrica
lungo una conica K, che ha il centro C. Questa conica possiede
(') Fra le tante dimostrazioni, che furono date di quel celebre teoi'ema,
riproduciamo qui, per comodità del lettore, la seguente, limitandoci al caso
particolare che ci interessa.
Supposto di aver calcolato una radice k della (5), ed i corrispondenti
valori non tutti nulli di l, m, n, soddisfacenti al sistema (4), in cui, al po-
sto di i", si sia sostituito il valore trovato, indichiamo con V, w', n' i valori
coniugati di l, m, n (valori che coincidono con l, m, n, se questi sono reali).
Ora moltiplichiamo ordinatamente le (4) per l', m\ n', e sommiamo membro
a membro. Otterremo
Olili' -\- a^mm' -\- a^^nn' -|" o-i^^wi' -\- V m) -\- ai^{ln' -f- V n)
-\- a.2^{mn' -\- m'n) = k{ll' -f- mm' -\- nn'),
nella quale il primo membro ed il coefficiente di k sono certamente reali,
perchè tali sono II', . . . ,lm' -\- l'm, . . . (anche quando l, m, n fossero complessi).
Inoltre II', mm' , nn' sono ^ 0, e certo non tutti e tre nulli,
che altrimenti sarebbe Z rr: m = w = 0, contro la ipotesi ; dunque il coef-
iiciente di k è diverso da zero. Ora l'equazione precedente, risolta rispetto
a A-, dà per k un valore reale; è quindi vero ciò che si era affermato.