Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 260 — in generale, si può dimostrare clie, se due curve si toccano in un punto (hanno ivi la stessa tangente), le curve inverse si toccano nel punto corrispondente. Da queste premesse segue il teorema : 20) L'angolo di due curve (n.° 157) in un punto comune è uguale al- l'angolo delle curve inverse nel punto corrispondente; in breve, la inversione non altera gli angoli (ne inverte però i segni); è, come suol dirsi, una trasformazione isogonale o conforme. 21) Ogni cerchio ortogonale al (cerchio fondamentale vien nmtato dall' inversione in se stesso ; e viceversa, un cerchio inverso di sé stesso, se non è il cerchio fondamentale, è ortogonale ad esso. È inverso di se stesso, quindi ortogonale al cerchio fondamentale, ogni cerchio passante per due punti distinti corrispondentisi nell' inversione. 22) Un meccanismo per realizzare l'inversione è il seguente: s'imma- gini un parallelogramma equilatero, articolato nei vertici, del quale due vertici opposti A, C siano costretti a muoversi sopra un cerchio fisso di centro e raggio q ; gli altri due vertici i?, D si corrispondono allora in una inversione rispetto al centro e ad un cerchio di raggio r = V q'^ — l^, essendo l il lato del parallelogramma. Segue che se -B è costretto a de- scrivere un cei'chio passante per 0, D descriverà una retta. Un apparecchio, fondato su questo concetto, per trasformare il moto circolare in moto ret- tilineo è Vinversore di Peaucellier. 161. Forme delle curve del secondo ordine. — Abbando- nando ora il cerchio, vogliamo mostrare sopra un esempio, utile per il seguito, come dall' equazione di una curva si possa dedurne la forma. Ci fermeremo sulle curve del secondo ordine, le cui equazioni vedremo in seguito potersi ridurre, mediante una conveniente scelta degli assi coordinati ortogonali, ad uno dei tipi seguenti (esclusi alcuni casi di secondario interesse): (1) ^ + -P- = ! (2) ^ - -f^ = 1. (3) y^ = 2px, dove a, 6, p sono costanti positive. (1) I. La curva f^ + f4 = 1, detta ellisse, sega l'asse x in due punti A, A', di cui si trovano le ascisse ponendo nella (1) 2/ = si ha cosi x = dz a. Similmente si vede che la curva stessa sega l'asse y in due ;
— 261 - punti B, B' di ordinate y — ± 6. I punti A, A', B, B' diconsi vertici. Scritta ora la (1) sotto la forma (1') 2/ = ± V y^' - ^% risulta che per aver valori reali di y, occorre attribuire ad x valori tali che a;^ ^ a% ossia a; | ^ a; si conclude che | i punti reali della curva stanno tutti entro la stri- scia compresa fra le parallele ad y condotte per A ed A' (tangenti alla curva nei vertici A ed A'). Ed in modo analogo, risolvendo la (1) rispetto ad x, si vede che la curva è compresa fra le parallele ad x condotte per ^ e B' (tangenti in questi punti). La curva sta dunque nel rettangolo avente per mediane A A' e BB'. Se ad X si attribuiscono valori positivi decrescenti da a a 0, la (1') dà per y valori aritmeticamente crescenti da a ò, ciascuno dei quali va preso col doppio segno ; si hanno dunque due archi di curva, simmetrici rispetto all' asse x, che partono da, A e vanno scostandosi dall' asse x, fino a raggiungere B e B' rispettivamente. Dall'altra parte dell'asse y si ritrova un arco di curva BA'B' simmetrico ali" arco già tracciato, rispetto all'asse y; infatti il secondo membro della (1') non muta cam- biando a: in — X. La curva è dunque chiusa, possiede due assi di simmetria ortogonali x, yy, e per conseguenza un centro di simmetria nell'origine, assi e centro della ellisse. Che la curva non abbia punti reali all'infinito risulta altresì dal fatto che, trasformata la (1) in coordinate omogenee scrivendo x' + 62 e posto poi s = per avere i punti all'infinito, si ottiene la quale fornisce per ' valori X' + y- = complessi.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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— 355 — e si noti che, quando M
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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