Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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b) Le intersezioni di una
conica con una retta secante de-
terminano su questa due seg-
menti proiettivi, di cui uno è
composto di punti interni, V al-
tro di punti esterni.
b') Le tangenti condotte ad
una conica da un punto esterno
determinano nel fascio avente ivi
il centro due angoli completi, di
cui uno è composto di rette ester-
ne, V altro di rette secanti.
Queste proposizioni valgono per coniche reali, non degeneri.
Ora nel n.*' seguente dimostreremo per via analitica le dette
proposizioni. Ma possiamo anche giustificarle, osservando an-
zitutto che esse valgono certamente pel cerchio, in secondo
luogo che esse sono di natura proiettiva, e quindi si trasportano
ad ogni curva che possa dedursi dal cerchio mediante una pro-
iezione. Vedremo d'altronde che ogni conica reale, non dege-
nere, può riguardarsi come proiezione di un cerchio; quindi
quelle proposizioni valgono per ogni conica siffatta.
* 207. Equazione di una conica riferita ad un triangolo
autopolare. — E interessante esaminare come si presenti la
equazione di una conica, quando essa venga riferita ad un si-
stema di coordinate proiettive {x, y, z), avente come fonda-
mentale un triangolo autopolare XYZ. Posto che sia
(1) a^^x'^ -f «22^/^ + «33^^ + '^ai^xy + 2^13^^ + 2«.23^^ —
l'equazione della curva, osserviamo che i punti fondamentali
X(l, 0, 0), r(0, 1, 0), Z{0, 0, 1) hanno, rispetto alla (1),
le rette polari
«1137 + «12^ + ^13^ = 0,
a^xX -)- «222/ -h ^23^ = 0,
a^xx -[- a-ì^y + «332^ ^ 0.
Ora queste rette devono coincidere ordinatamente colle rette
fondamentali
a; = 0, y =z 0, 0=0.
Perciò deve aversi «,3 = a^s = «03 = 0. Con ciò la (1)
si riduce alla forma
(1) aiix^ + az-zy'^ + a^sz'^ = 0,
che si suol dire equazione normale, o canonica, della conica.
L'' equazione puntuale di una conica, riferita ad un triangolo
autopolare come fondamentale, contiene solo i quadrati delle coor-
dinate.