Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 636 — Viceversa : due fasci proiettivi di piani, ad assi sghembi, o due punteggiate proiettive, a sostegni sghembi, generano, nel modo ora indicato, un sistema di rette di una quadrica rigata, alla quale appartengono, come rette dell' altro sistema, i due assi dei fasci, o i due sostegni delle punteggiate. Ciò risulta dalle considerazioni che precedono, e può dimostrarsi, nel modo più semplice, per via analitica. Consideriamo infatti, ad esempio, due fasci proiettivi di piani, che possiamo rappresentare mediante due equazioni del tipo (1) L -{- kM = 0, L' -}- kM' = 0, dove L, M, L', M' sono polinomi lineari in x, y, parametro variabile, ad ogni valore del quale corrisponde una z, e k è un coppia di piani omologhi (cfr. n.° 148). L'equazione della superficie costituita dalle rette (1) (generatrici), intersezioni di piani omologhi, si otterrà eliminando il parametro k ; si giunge cosi all'equazione di secondo grado, in x, y, z, (2) Lìl' — L'ìl — 0, che rappresenta una quadrica. La superfìcie contiene evidentemente la retta L = M = asse del primo fascio, e la retta L' == M' = asse del secondo fascio ; queste sono due direttrici della quadrica. Si noterà poi che la stessa quadrica (2) è pur generata dai due fasci proiettivi di piani (3) L -^ hL' = 0, M + hM' = 0, i quali hanno per assi due generatrici Z/ = i' = 0, M = M' = (rappresentate dalle (1) per k = 0, oo), ed i cui piani omologhi si segano nelle singole direttrici (3) della superficie. Da questa doppia generazione risulta la presenza sulla superficie dei due sistemi di rette. E sarebbe facile ri- trovare le proprietà di questi, facendo uso delle equazioni (1), (3) di una generatrice o, rispettivamente, di una direttrice arbitraria. Ma ciò può esser lasciato al lettore. Osservazione. — Se gli assi di due fasci proiettivi di piani si segano in un punto V, le rette intersezioni di piani omologhi costituiscono un cono del secondo ordine col vertice in V-, i due fasci generano dunque una superficie del secondo ordine degenere.
— 637 — Dualmente, se i sostegni di due punteggiate proiettive stanno in un piano w, le rette congiungenti punti omologhi inviluppano una conica di w, ed i piani per esse costituiscono una quadrica limite (n.*' 360), cioè un inviluppo di piani degenere, di seconda classe. 367. Qualche proprietà delle quadriclie rigate. — Poiché una retta reale sega un piano reale in un punto reale, segue che ogtii piano (reale) sega una quadrica rigata lungo una conica reale, che può anche scindersi in due rette reali] il piano è dunque secante o tangente. Dualmente : per un punto (reale) dello spazio passano infiniti piani reali (e quindi infinite rette reali), che toccano una quadrica rigata; quei piaìti costituiscono {n° 355) un inviluppo conico reale di seconda classe, che può anche scindersi in due fasci di piani. In altre parole, ogni punto è esterno ad una quadrica rigata, o sta sulla superficie. I piani tangenti alla quadrica condotti per un punto V dello spazio, non situato sulla superficie, sono i piani proiet- tanti da V le rette della superfìcie (n.° 34G) ; ciascuno di essi contiene due rette della quadrica, una del primo e l'altra del secondo sistema. Segue che le proiezioni, sopra un piano ar- bitrario ù) da un punto generico V, delle rette di una quadrica rigata, toccano una conica di w, che è sezione del cono circoscritto alla quadrica da V, ed è proie- zione da V del contorno apparente della superficie (relativo al punto V) (n.° 355). Siano P, Q due punti di una quadrica rigata, dai quali escano, rispettivamente, le rette p, q del primo sistema e le rette p', q' del secondo sistema. Queste quattro rette sono lati di un quadrilatero sghembo pq'qp', del quale due vertici opposti sono P =: pp', Q =. qq', e gli altri due sono T^pq', Z7 = j9 2 '. I piani /) 2^', g-g-', tangenti alla quadrica in P e Q, si segano lungo la retta T TI ; e ì piani tangenti in T, IT si segano lungo PQ. Dunque le due diagonali PQ, TU del quadrilatero sono rette mutuamente polari, rispetto alla
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 7 — Segue che i punti impropr
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 15 — a') Ritornando alla figu
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 59 — la figura da un punto 8
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— 61 — Il procedimento si esten
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— 65 — (cc^y) senay senaó nel
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— 67 — ( A Ti C^ infatti se il
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 93 — doppio rapporto dei quat
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- 95 - corrispondono due elementi,
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— 97 — ad es., Xo
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— 99 — cedente prova di più, c
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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— 109 — E importante notare che
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 113 — liari {8 ed 8\ oppure s
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 119 — della proiettivita ABC
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 131 — 81. Equazione deiriiivo
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 143 — delle due direzioni ass
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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— 195 — torno chiuso curvilineo
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 215 — UN. La ipotesi è dunqu
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— 217 — H punto Z ha le coordin
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— 225 — Esercizi, — 1) Assunt
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 235 — trica a cui obbedisce u
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— 239 — nazione di A:; e la ope
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— 243 — punti dovrà tendere a
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% — 245 — continuità, si consi
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— 257 — nati potrebbero riguard
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— 259 — superiori o inferiori.
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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— 267 — retta x sopra cui quest
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— 269 — \si OA perpendicolare a
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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I — 277 — 7t^ n\ proiettando i
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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— 295 — se vi è un terzo punto
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l — 299 — Se poi di una retta a
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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l — 305 — trova che le coordina
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 329 — 3) Introdotta sul princ
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 391 — Im- sicché ± Vx^ -\-
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— 395 — dove À, fi. V sono par
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— 399 — La costruzione degli as
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 415 — dove p è una costante
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 455 — Al contrario, le propri
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 472 — sistema di coordinate p
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574:
— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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