Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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5) Risolvere i problemi indicati negli esercizi 3), 4) nella ipotesi che
i vertici del triangolo abbiano le coordinate {xi, yt), oppure i lati abbiano
le equazioni atx -}- bìy -\- d = 0, {i = 1, 2, 3); dimostrare in particolare,
nella prima ipotesi, che il punto di concorso delle mediane ha le coordinate
"3 (^1 + X2 + x^), -jiyi + 2/2 + ys)-
II — 6) Dati 'in un piano n punti Ai {xi ,
n numeri ^i (i = , 1, 2, . . , «), il baricentro dei punti Ai presi coi pesi pi
.
y i) e dati in corrispondenza
si definisce nello stesso modo tenuto per le punteggiate (n.° 32, es. 4)). Si di-
mostri che le coordinate del detto baricentro sono — —*-
1 'J— --4,' (sicché
^iipi Hi Pi
in particolare, il punto di concorso delle mediane di un triangolo è il
baricentro dei vertici presi con pesi uguali); e si concluda che il detto
baricentro non dipende dall' ordine in cui i punti A i si adoperano nella
costruzione. Se però -S",-^,- =z 0, senza che siano nulli entrambi i numera-
tori, le rette che congiungono ciascun punto A i col baricentro dei rima-
nenti, risultano tutte parallele, e si dice che il baricentro degli n punti è
all'infinito in quella direzione. Se finalmente sono nulli anche i due nume-
ratori, ciascun punto Ai coincide col baricentro dei rimanenti, ed il bari-
centro dei punti dati è indeterminato.
7) Dati due punti Pj {xi, y{), P^ (iCo? U-i) sd una retta ax-\-hy -[-c=:: 0,
che seghi la congiungente di quei punti in Q, calcolare il rapporto sem-
plice (P1P2Q). Dedurre una dimosti'azione del teorema di Menelao per
un triangolo per un n.gono piano (n.° 36).
8) Datii punti Pi(a;i,j(/i), P2(a?2>2/2)j -PaC^a^^/a)^ •JP4 («^4,2/4); calcolare
il rapporto semplice (P1P2Q) essendo Q ^ PiI'ì • PaPi- Dedurre una
dimostrazione del teorema di Ceva (u.° 37).
9) Scrivere l'equazione di quella retta che passa pel punto d'incon-
tro di ax -{- by -\- e =^ 0^ a'x -j- b'y -\- e' = 0, e soddisfa ad una delle
condizioni seguenti: a) passa per l'origine; b) è parallela ad uno degli
assi; e) passa per un punto di date coordinate; d) è parallela ad una retta
di data equazione ; e) passa pel punto di concorso delle rette ax -\~ (ìy -\- y = 0,
a'x -f ^'y -{- y' = 0.
10) Le congiungenti i vertici di un triangolo coi punti medi dei segmenti
intercettati sopra una trasversale dai relativi angoli, segano i lati
opposti del triangolo in tre punti allineati; (si possono assumere due lati
del triangolo come assi coordinati). Di qual teorema proiettivo, dimostrato
nel testo, può questo riguardarsi come caso particolare metrico ?
11) Dimostrare a iì aliticamente il teorema di Pappo sull'esagono iscritto
tra due rette (n." 70, Oss. II) (od anche, più generalmente, il teorema sull'
asse di proiettività di due punteggiate proiettive), assumendo queste come
assi coordinati.
12) I punti medi delle diagonali di un quadrilatero completo stanno
sopra una medesima retta (cfr. n.° 89, es. 10)); (due lati del quadrilatero pos-
sono assumersi come assi coordinati; oppure si possono ritener date le coor-
dinate dei sei vertici, tenendo conto delle relazioni che devono legarle).