Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 200 — passante per P. Viceversa, quando siano noti i numeri q e cp, rimane individuato il punto P, come intersezione di un cerchio di centro e raggio q (luogo dei punti che hanno il raggio vettore q costante) con una semiretta uscente da (luogo dei punti che hanno costante l'anomalia go). I due numeri () e qo si chiamano coordinate polari di P. Per avere tutti i punti del piano, basta far variare 90 da a 2 ti, e il raggio vettore q tra e -}- go ; oppure, come talvolta è preferibile, q) daO ayr, e()da — (Xi a. -{- co, convenendo allora che i raggi vettori negativi siano da valutarsi sulla semiretta oppo- sta a quella che forma 1' anomalia 90 con x. Si noterà inoltre che i punti della semiretta positiva x hanno gp = 0, () > 0; quelli della semiretta negativa hanno q) =z 71, Q ';> 0, (oppure 90 =:: 0, ^
— 201 — Esercìzi. — 1) Come si presentano le formule per la trasformazione delle coordinate quando i nuovi assi X, Y sono le bisettrici degli angoli degli assi antichi? assi X, y equazioni 2) Scrivere direttamente le formole che permettono di passare da due a, due nuovi assi X, Y rappresentati, nell'antico sistema, dalle ax -{- by -j^ e = 0, a' x -f- b'y -\- e' = 0. 3) Il determinante formato coi coefficienti di X, Y nelle (2j del n." 122 (determinante della sostituzione lineare (2) ) vale ' — • 4) Si dimostri, sia mediante considerazioni geometriche, sia mediante l'effettivo calcolo, che una trasformazione di coordinate, la quale non al- teri l'origine, muta il trinomio x^ -\- 2xy cos xy -\- y- nel trinomio X2 + 2Xr cos XY -f- Y-^, essendo (x, y) ed (X, Y) le antiche e le nuove coordinate di uno stesso punto ; caso particolare della trasformazione ortogonale. 5) Nelle ipotesi dell' es. 4), dette (x\ y'), (X', Y') le antiche o le nuove coordinate di un secondo punto, si dimostri che la espressione {xy' — x' y) sen xy si muta nella espressione (XY' — X'Y) sen XY. B) Se si moltiplica il determinante del terzo ordine formato colie coordinate di tre punti e colle unità, per il seno dell' angolo degli assi, si ottiene una espressione, la quale, per una qualsiasi trasformazione di coordinate cartesiane, si muta nelF analoga espressione relativa ai nuovi assi. Da questa osservazione, che si giustifica col calcolo diretto, si deduca una nuova dimostrazione della formola che dà l'area di un triangolo mediante le coordinate dei vertici (n.° 120). (Si assumano come assi ausiliari due lati del triangolo). 7) Posto z = X -{- iy, Z = X -i- ìY (dove i = [/ — 1), le formole (3'ì del n." 122 per il passaggio da assi ortogonali ad assi ortogonali, si riassumono nella seguente : z = mZ -\- n, dove m, n sono due numeri complessi, il primo, dei quali ha per modulo l'unità. 8) Esprimere la distanza di due punti, e l'area del triangolo determinato da tre punti, mediante le coordinate polari dei punti stessi. Con- dizione di allineamento di tre punti in coordinate polari. 9) L'equ.azione di una retta in coordinate polari ((>, (p) può porsi sotto la forma Q cos (q> — a) — p^ dove a e p sono due costanti; quali grandezze geometriche misurano? 124. Coordinate cartesiane omogenee (^). — Ritorniamo ora al sistema di coordinate cartesiane, e cerchiamo di estenderne (^) Il lettore, a questo punto, può passare senz' altro allo studio dei Gap. IV e V, omettendo quelle osservazioni ove si fa uso di coordinate omogenee di punti o rette; egli ritornerà sulle parti omesse, dopo aver letto i n' 124 - 131 del presente Capitolo.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 45 — furono dette di prima sp
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 125 — Se nella proiettività
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 131 — 81. Equazione deiriiivo
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 399 — La costruzione degli as
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— 401 — La prima proposizione s
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 405 — 7) Dati in grandezza e
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 455 — Al contrario, le propri
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 459 — quella affinità che tr
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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- 470 — dove si suppone precisame
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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