Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 346 — che un punto esterno, od interno, ha, rispettivamente, come polare una retta secante, o non secante, mentre i punti della cnrva hanno come polari le relative tangenti. Fu precisamente la considerazione di due figure mutuamente polari rispetto ad una conica che condusse il Poncelet (1818-24) a formulare, per la prima volta, la legge di dualità piana, da lui denominata metodo delle polari reciproche. Solo qualche anno più tardi (1825-26) Gergonne enunciò, sotto forma indipendente dalla teoria delle coniche, quella legge, che trovò la sua piena giustificazione nelle opere di Mobius (1827) e Plucker (1828). 205. Rette coniugate rispetto ad una conica. — Volendo tradurre per dualità anche i procedimenti analitici dei para- grafi precedenti, conviene partire da una equazione di secondo grado in coordinate di rette, per es. omogenee, (10) F(u, V, w) = anU- -\- «22 v''' -|- «33 w^^ + 2ayiUV -f- 2aisUW -f- 2a
— 347 — F (u^ V, w), come la condizione di coniugio di due punti fu ottenuta partendo dal polinomio f(x, Vi ^)] potremo adunque scriverla concisamente sotto la forma (11) F U, u', V, v' w w' 0, dove il simbolo a primo membro ha un significato chiaro, quando si badi alla (3) del n.° 197. Partendo dall' equazione (10) di un inviluppo di seconda classe, possiamo chiedere la equazione (in coordinate di punti) del luogo dei punti di contatto dell' inviluppo. Basterà seguire la stessa via che ha servito per il passaggio inverso (duale). Si scriva il discriminante A della (10), determinante del terzo ordine formato colle «;,a, che supporremo diverso da zero ; poi si sostituiscano nella (10), al posto delle n, v, w, le x, y, 0, ed al posto dei coefficienti, i rispettivi complementi algebrici estratti da A.] si troverà cosi l'equazione di una, conica, che è il luogo richiesto. Applichiamo ad es. questo procedimento al- l'equazione (9) del n.° 203: in questa ipotesi il discriminante è -Ali -^i> -A-n A.^1 A.2'ì -A. -I-i =^ -^ 31 ^ 32 -A 33 A. , ed ha come minori (in virtù di un noto teorema): A,, A,, -4 23 Aan A,, A, A. = Aa^., -A 33 dunque la conica luogo dei punti di contatto dell' inviluppo (9) sarà -A 31 A{aux'^ -\- • • -{- 2ai
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 29 — problema generalmente no
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— 31 — Parte Prima. Forme di pr
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— 41 — '23, 34 . . . tutti ugua
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 45 — furono dette di prima sp
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 59 — la figura da un punto 8
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— 61 — Il procedimento si esten
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— 65 — (cc^y) senay senaó nel
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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— 97 — ad es., Xo
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— 99 — cedente prova di più, c
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— 103 — Se un punto sopra u va
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 125 — Se nella proiettività
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 157 — Parte Seconda. Geometri
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 163 — la quale esprime che i
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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— 207 — Come le coordinate omog
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 215 — UN. La ipotesi è dunqu
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— 217 — H punto Z ha le coordin
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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— 397 — Partendo dall' equazion
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 480 — blema mostreremo tra po
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— 482 — II. Sia data una riga a
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 505 — 287. Condizione di para
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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