Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 460 — a centro ; i fuochi corrispondono ai fuochi, e se X è un cerchio od una iperbole equilatera^ tale sarà anche K' . In breve la similitudine conserva tutti i caratteri delle coniche (a parte le lunghezze assolute dei segmenti). A^iceversa: due coniche a centro dello stesso nome, aventi gli assi omonimi proporzionali, sono simili (si corrispondono in una similitudine). Infatti la similitudine che trasforma il rettangolo avente per mediane gli assi dell'una conica nel rettangolo analogo dell'altra, trasforma la prima conica nella seconda. Ana- liticamente, se V^/ „2 ^ A2 ^' ^2 — o2 ^ sono le equazioni delle due curve riferite agli assi (dovendosi prendere insieme i segni superiori o gli inferiori), ed è la similitudine a __ 6 a ~ f ~ ' (2) X = A'X, y = ìiY trasforma la prima conica nella seconda. Due parabole qualisivogliano sono simili; infatti la similitudine (2) trasforma l'una nell'altra le parabole (3) y^ = 2px, r^ ^ 2PX, quando si prenda k == -y- 267. Coniche omotetiche. — Se la similitudine è una omotetia fra piani sovrapposti o paralleli, coniche corrispondenti K, K' hanno gli stessi punti all'infinito, e gli asintoti, gli assi, le coppie di diametri coniugati dell'una, sono paralleli agli asintoti, agli assi, alle coppie di diametri coniugati dell'altra; due diametri paralleli sono insieme trasversi o non trasversi. Queste osservazioni invertite conducono al seguente teorema. Due coniche situate in uno stesso piano, o in piani paralleli, le quali abbiano gli stessi punti all'infinito, reali o immaginari, colla condizione, nel primo caso, che il tratto di retta aW infinito interno alVuna conica sia pure interno alV altra, sono otnotetiche. Il teorema è caso particolare di quello contenuto nella Oss. II. del n.° 264. E può anche dimostrarsi direttamente così. Si osservi anzitutto che, in virtù della ipotesi, le due coniche sono della stessa specie, e gli asintoti e gli assi dell'una i
— 461 — sono paralleli agli asintoti e agli assi dell" altra, e precisamente sono paralleli tra loro gli assi trasversi quando si tratti di iperboli. Supposto anzitutto che le due coniche abbiano centro, ri- ferendole ai rispettivi assi, x, y per l'una, X, Y, paralleli a quelli, per T altra, avremo due equazioni come le (1) del n." precedente. Ora gli asintoti delle due curve sono dati, se si tratta di iperboli, dalle equazioni X .a X a J ~ ~ T' Y — - .(? mentre, se si tratta di ellissi, nei secondi membri comparisce ancora il fattore i = ]/ — 1. In ogni caso, per il parallelismo dei primi asintoti coi secondi, occorre che sia " = ^ • Ma ' allora, mdicando con Zr il valore comune dei due rapporti, si vede che le due coniche si mutano Tuna nell'altra mediante le so- stituzioni (2) del n.° precedente, le quali definiscono questa volta una omotetia fra i piani xy ed XY. Se poi si tratta di due parabole come le (3) del n.° precedente, si osserverà che la similitudine ivi considerata, che trasforma l'una parabola nell'altra, è una omotetia quando sono paralleli gli assi x, X delle due curve e quindi le rette ?/, Y, tangenti nei vertici. Esercizi I. — 1) Una conica, mediante una omologia il cui centro stia in un fuoco della curva, si muta in una conica avente ancora un fuoco in quel punto. 2) In particolare : una omologia avente il centro nel centro di un cerchio, trasforma questo in una conica avente ivi un fuoco. Viceversa: una conica qualsiasi può esser trasformata in un cerchio, mediante una omologia avente il centro in un fuoco di quella; quale sarà la retta limite nel piano della conica? 3) Mediante questa relazione, dalle proprietà del cerchio possono de- dursi varie proprietà focali delle coniche, ad es. il teorema del n° 262, es. 14); od anche il seguente : « le corde di una conica clie son viste da un fuoco sotto un angolo costante, inviluppano una seconda conica che ha comune colla prima quel fuoco e la relativa direttrice. 4) Data una conica ed una retta esterna, trasformare quella in un cerchio, mediante una omologia avente la retta data come retta limite (del piano della conica). (Come si determina il centro di omologia? n.° 89, es. 7)). Il problema può anche enunciarsi così: data una conica ed un punto interno, trasformare mediante una omologia quella in un cerchio ed il punto nel relativo centro. 5) Data una conica ed un punto ò' su questa, costruire una seconda conica che abbia colla prima un contatto bipunto, tripunto o quadripunto
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 137 — la involuzione appartie
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 361 — in punti coincidenti da
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538:
— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550:
— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568:
— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576:
— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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