Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 698 — facile però stabilire che il teorema sussiste pure in coordinate oblique; sussiste anzi, in generale, quando la quadrica si rife- risca ad un sistema di coordinate proiettive qualsiasi. Ma su questa estensione, che è legata colle considerazioni del n.° seguente, non vogliamo qui trattenerci. 398. Classificazione proiettiva delle quadriche. — La classificazione delle quadriche, contenuta nelle tabelle precedenti, è fondata sopra criteri metrici. Sotto V aspetto proiettivo, quando si riguardino come equivalenti due quadriche trasfor- mabili r una neir altra mediante una collineazione reale (rap- presentata cioè da una sostituzione lineare a coefficienti reali), si è condotti a distinguere un minor numero di tipi. Precisa- mente : le quadriche non degeneri, sotto V aspetto proiettivo, si distribuiscono nelle tre famiglie seguenti : 1) quadriche a punti immaginari ; 2) quadriche a punti reali ellittici (o non rigate)] 3) quadriche a punti reali iperbolici (o rigate). Ogni quadrica di una di queste famiglie è trasformata da una collineazione in una quadrica della famiglia stessa ; ciò è evidente, quando si pensi che una collineazione muta punti e rette reali di una quadrica in punti e rette reali della quadrica trasformata. Ma, viceversa, si dimostra (e qui basti l'enunciato) che, date due quadriche di una stessa famiglia, si può sempre formare (e in infiniti modi) una collineazione, che muti V una quadrica nel- V altra. Per esempio ogni quadrica reale non rigata (ellissoide reale, iperboloide a due falde, paraboloide ellittico) può esser sempre trasformata in una sfera reale, mediante una collineazione (cfr. n." 369, es. 3), 4)). La prima e la terza delle tre famiglie sopra indicate corrispondono a valori positivi del discriminante A ; conda famiglia invece è A •
— 699 — 2) Ogni iperboloide riferito a tre asintoti, come assi coordinati, ha un'equazione della forma — 0; «12^52/ + ai^xz -\- a^yz + A; si dimostri che l'iperboloide (anche nella ipotesi di assi obliqui) è rigato no, secondo che il prodotto Ojo «13 a^s ha il segno di A: o il segno op- posto. (Si seghi la superficie col piano tangente nel punto all' infinito del- l' asse z). 3) Si dimostri che la superficie a{x^ + 2yz) + 6(i/2 4. o,^) _|_ ^(^2 ^ 2xy) = 1 è un iperboloide ad una o due falde, secondo che la somma a + ^ + e è positiva o negativa, ed è un cilindro iperbolico se quella somma è nulla. La condizione necessaria è sufficiente, perchè la superficie sia rotonda, è ah -\- oc + ca = 0. 4) Per determinare il termine noto dell' equazione canonica di un cilindro ellittico od iperbolico (n." 395, Oss. I), di cui è data V equazione generale, si trasportino parallelamente due piani coordinati, ad es. xz, yz, lasciando fisso il terzo xy, e si scelga come nuova origine il centro della conica, che il cilindro sega sul piano xy. Il termine noto della nuova equazione (che si può calcolare col mezzo degli invarianti della detta conica) è il termine noto dell'equazione canonica richiesta (n." 393, II). Si applichi questo procedimento al cilindro x^ — y^- - z^- -I- 2yz -\- X -{- y ~ z = 5. II — 5) In un ellissoide (di semiassi a, b, e) è costante (= -V 4" -j2—I ^j la somma dei quadrati dei valori inversi di tre semidiametri mutuamente perpendicolax-i (Chasles). Come si esprime questa somma mediante gli invarianti della superficie? (cfr. n." 252, es. llj ) {}). 6) È pure costante (= 4 - (^-7, + .y^-, + J^^ ) la somma dei quadrati dei valori inversi delle aree di tre triangoli, determinati da tre semidiametri mutuamente perpendicolari, presi a due a due (Chasles). 7) Nello studio delle proprietà metriche di un ellissoide '^^ + —,- -\- ~2~ =^ 1 conviene adoperare le seguenti equazioni parametriche : X = a cosa, y = 6cos/?, z = e cosy, dove a, /?, y sono gli angoli, che una retta variabile forma con tre rette mutuamente perpendicolari. A queste formule si arriva naturalmente, se si stabilisce l'affinità x = aX, y = bY, z r= e Z tra, l'ellissoide dato e la sfera X'^ -{- Y^ -\- Z^ = 1. Mediante quella affinità il punto sopra consi- derato dell'ellissoide si muta nel punto (cosa, cos,-?, cosy) della sfera. 8) A tre punti dell'ellissoide, che siano estremai di tre semidiametri mutuamente coniugati, corrispondono, nell'affinità nominata, tre punti della sfera appartenenti a tre raggi mutuamente perpendicolari. Dalle for- (1) I risultati relativi all'ellissoide, contenuti in questo e nei successivi esercizi, si estendono alle altre quadriche a centro, pur di considerare i semidiametri in valore algebrico (reale o immaginario).
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 113 — liari {8 ed 8\ oppure s
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 125 — Se nella proiettività
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 373 — done noti due punti: M
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Le infinite coniche circo- scritte
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706: — 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708: — 689 — Se invece avessimo adop
Page 709 and 710: — 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712: Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714: — 695 — sicché il paraboloide
Page 715: — 697 — Ora questo teorema può
Page 719 and 720: — 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722: — 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724: — 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726: — 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728: — 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730: — 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732: — 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734: — 715 — Ora sappiamo che un con
Page 735 and 736: — 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738: — 719 — si trovano distribuiti
Page 739 and 740: — 721 — per la direttrice /'. l
Page 741: — 723 — due punti fissi della i
Page 744 and 745: — 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747: (22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749: — 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752: INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754: — 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756: — 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758: — 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760: — 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762: — 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764: — 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766: — 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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