Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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ed è iperbolica, parabolica, o ellittica, secondo che la' (1) ha ra-
dici reali e distinte, reali e coincidenti, o immaginarie. N^elF ul-
timo caso possiamo assumere la involuzione ellittica (2) come
immagine geometrica (o come definizione, secondo lo Staudt)
della coppia di punti immaginari determinati dalla (1). La invo-
luzione ellittica è un ente reale, costituito da infinite coppie di
punti reali; bastano due coppie A A', BB' per individuarla,
e quindi per rappresentare la coppia di punti immaginari cor-
rispondente ad una data equazione di secondo grado.
In modo analogo si procederà ])er rappresentare (o definire)
una coppia di elementi immaginari coniugati (in senso alge-
l)rico) appartenenti ad un fascio di rette o di piani. Sempre la
detta coppia di elementi si rappresenterà mediante quella invo-
luzione ellittica nel fascio, che ha come doppi gli elementi no-
minati. In particolare, le direzioni assolute uscenti da un punto
proprio /S', saranno rappresentate dalla involuzione circolare nel
fascio >S'; ed i punti ciclici del piano, dalla involuzione circo-
lare sulla retta all'infinito.
Sugli enti immaginari cosi introdotti si possono definire le
operazioni geometriche fondamentali. Cosi, per esempio, data
sopra una retta (reale) una coppia di punti immaginari coniugati
f/", F, rappresentata mediante la involuzione ellittica AA'^ B B',
la coppia di rette immaginarie SU, 8V proiettanti quei punti
da un punto reale 6', si rappresenterà mediante la involuzione
nel fascio /S determinata dalle coppie di rette SA, SA' ed SB, SB'.
OsserTazione. - In molte questioni due elementi immaginari coniu-
gati si presentano sempre insieme, e si comportano nello stesso modo, co-
sicché è sufficiente rappresentare la coppia che essi formano, ricorrendo alla
involuzione ellittica, come ora si disse. In altre questioni però occorre defi-
nire separatamente ciascuno dei due elementi immaginari coniugati. A tal
fine lo Staudt ha proposto di considerare, insieme alla involuzione ellittica,
uno dei due versi appartenenti alla forma su cui si opera, e di aggre-
gare quel verso ad uno dei due elementi immaginari, e il verso opposto
all'altro elemento. In tal guisa, ricordando che due coppie A A', BB' di
una involuzione ellittica si separano, e quindi che gli elementi ABA'B' si
succedono in un verso, e gli elementi AB'A'B nel verso opposto, potremo
con ABA'B' rappresentare uno degli elementi doppi della nostra involu-
zione, e con AB'A'B l'altro.
* 95. Involuzione unita di una proiettività. — In base allo
considerazioni precedenti, quando si debba risolvere, sopra una