Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 360 — versa, una retta non passante per V ha sempre come polo, rispetto ad una coppia di rette, il punto F, mentre una retta uscente da V ha infiniti poli appartenenti alla coniugata armo- nica di essa rispetto alle due rette della coppia. 215. Inviluppi degeneri. — I risultati sulle coniche degeneri possono subito trasformarsi per dualità. Cosi si ottiene il teorema : Un' equazione di secondo grado in coordinate di rette, il cui discriminante sia nullo, rappresenta un inviluppo che si scinde in due punti (o meglio, in due fasci); i due punti coincidono, se sono nulli inoltre tutti i minori di secondo ordine estratti dal discriminante. La coppia di punti distinti e il punto doppio sono varietà di inviluppi della seconda classe. Conviene qui ricordare (n.° '203) che se il discriminante A di una curva del secondo ordine Ar 'â^^xz -[- 'îa.^^yz z=z non è zero, alla curva è legato un inviluppo di seconda classe costituito dalle infinite tangenti, il quale ha l'equazione (I) F{u, V, w) = Anu'^ + ^22v'^ -f A^^w'^ -\- 2AîUV -\~ 2A-Ì3UW -]- 2A23VW = 0. Ora se J. = 0, che cosa rappresenta quest'equazione? Si osservi che, nella ipotesi attuale^ il discriminante della (I) Ali A12 Ais A 21 -A 22 -A 23 -^4 31 -A 32 -^ 33 na nulli tutti i minori di secondo ordine; quindi la (I) rappresenta un inviluppo che degenera nel punto Aiiu -f Ai.v -^ A13W = 0, ossia nel punto (Au, A^^, ^13), da contarsi due volte (^); questo punto è, come sappiamo, il punto doppio della coppia. Ciò del resto si poteva prevedere, perchè una coppia di rette è segata 0-) Se Ali, A12, A 13 fossero tutti nulli, si ricorrerebbe alla semiderl- vata del polinomio F rispetto a, v od a w.
— 361 — in punti coincidenti dalle sole rette che passano per il punto doppio. Se però la curva (1) degenera in duo rette coincidenti, sono nulli tutti i coefficienti dell'equazione (I), e l'equazione stessa diviene una identità. Al luogo non è più legato un invihippo di seconda classe (come, del resto, risulta dal fatto che ogni retta del piano sega una retta doppia in due punti coincidenti). Per dualità : Ad un inviluppo di seconda classe che degenera in due punti^ si può considerare collegato il luogo costituito dalla retta congiungente i due punti, contata due volte. Ma se i due punti coincidono, all'inviluppo non è più collegato un de- terminato luogo di secondo ordine. Esercizi I. — 1) Scrivere le equazioni delle tangenti alla conica x^ -\- 2xy — y^ — 2x — 4i/ = nell'origiae e nei punti in cui essa sega ulteriormente gli assi coordinati. 2) Equazione della tangente alla curva 2x'^ — xij -{- y'^ — 3x — 1 •= nel punto (1, 2). 3) La curva 2xy -{- 4x ~ 2y -{- 5 = passa per i punti all'infinito degli assi; determinare le tangenti in quei punti (asintoti). La stessa que- stione per la curva 2aiìxy -j- 2a\?iX -f- 2a»?,y -{- 033 = 0. 4) Scrivere la equazione di una parabola che passi per l' origine, toccando ivi la retta Sa? — ;y = 0, e passi per il punto (1,2). toccando ivi la retta 4a; — y — 2 = 0; il problema ha due soluzioni, delle quali però una è degenere. 5) Scrivere la equazione di una iperbole che passi per i punti all'infinito degli assi, toccando ivi le rette y -\- 1 = 0^ x ~ 2 =^ rispettiva- mente, e passi inoltre per il punto (3, 5). 6) Determinare l'equazione complessiva delle tangenti condotte alla conica anx'^ -[-••• = dall'origine, o dal punto all'infinito di uno degli assi. Si deduca che F origine è esterna, od interna alla conica, secondo che «33.4 < 0, oppure > 0. 7) Si determinino, ad es., per la conica dell' es. 2) le tangenti uscenti dall'origine, o le tangenti parallele all'asse delle x; si trovino di queste i punti di contatto, e si verifichi che la congiungente 1 punti di contatto, in ciascuna coppia di tangenti, è la polare del punto da cui escono le tangenti. 8) Tangenti condotte dal punto (2, 3) alla conica dell' es. 1) e polare del punto stesso. 9) Quante tangenti parallele ad una data retta si possono condurre ad una conica, in generale; o ad una parabola, in particolare? Determinare le tangenti alla conica x'^ -\- 2xy -\- y^ — 4a7 = che sono parallele alla retta 2x -\- 3y = 0. 10) Assegnare due punti (o rette) coniugati rispetto ad una conica luogo (o inviluppo), equivale ad imporre una con4izione traducentesi in
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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