Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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definirsi nel seguente modo. Sopra una retta propria ausiliare u si fissi
un sistema di ascisse, e sia x V ascissa di un punto X variabile sulla retta.
Si proietti poi da un centro arbitrario la punteggiata u sopra una retta
arbitraria u', ed al punto X' proiezione di X si associ quel numero x che
si era definito come ascissa di X. Si potrà riguardare x come coordinata
di X'; precisamente x è coordinata proiettiva di X' rispetto a tre punti
fondamentali, die sono proiezioni dei tre punti di u aventi le ascisse
it 00 , 0, 1. Viceversa, mediante proiezione si può sempre passare da un
sistema di coordinate proiettive sopra una retta «', ad un sistema di
ascisse sopra una retta u.
43. Doppio rapporto di quattro punti espresso mediante le
ascisse dei punti stessi. — Quando si conoscono le ascisse a, 6, e, x
di quattro punti A, £, C, D di una retta propria riferiti ad una
certa origine 0, si può facilmente calcolare il doppio rapporto
k = (AB CD) dei punti stessi. Segue infatti dalla definizione
-j . - et e Qj OC
(1) u = j-— : ^--^.
L'espressione che sta a secondo membro si dice spesso
doppio rapporto dei quattro numeri a, 6, e, a?, e si indica scrivendo
(a, 6, e, x); il doppio rapporto di quattro punti di una
retta è dunque espresso dal doppio rapporto delle loro ascisse.
Ciò vale anche quando uno dei quattro punti sia improprio, e
la corrispondente ascissa sia ziz co , purché allora come doppio
rapporto dei quattro numeri si assuma il limite a cui tende il
secondo membro della (1) mentre quell'ascissa va tendendo
a ± co ; cosi ad es. è
(a, ò, e, ± oo) = -7 , (0, ± 00, 7i, k) = j^, ecc.
La relazione (1), quando si considerino a, ò, e come co-
stanti ed X, k come variabili, stabilisce il legame che passa tra
la coordinata proiettiva k (rispetto ai punti fondamentali
A^ B^ C) e l'ascissa x (rispetto ad una certa origine) di uno
stesso punto D variabile sulla retta. Per metter più in luce
questo legame scriviamo la (1) cosi
— (a — e) X -\- (a — e) b
— (6 — e) X -{- (b — e) a'
ossia
(2) k = ^-^,
^ ^ px -j- q