Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 2 — un determinato punto, l' insieme delle rette che toccano un determinato cerchio o una determinata sfera ; e tra i luoghi di piani potremo immaginare l'insieme dei piani che passano per una determinata retta o per un determinato punto, che toccano una data sfera, ecc. In conclusione, per noi gli elementi generatori degli enti geometrici sono il punto, la retta ed il piano. Indicheremo di solito i punti colle lettere maiuscole latine A, B . . ., le rette colle minuscole a, ò . . . , i piani colle minuscole greche «, ^... Spesso la retta (indefinita) congiungente due punti A, B, o intersezione di due piani a, /? sarà designata con AB o, rispettivamente, a^; e in tutti i casi analoghi faremo uso di analoghe notazioni. Diremo, por abbreviare, che due elementi di nome di- verso d appartengono (che il primo appartiene al secondo o il secondo al primo), quando l'uno sta sull'altro, o passa per r altro. 2. Forme geometriche fondamentali. (Steiner, 1832). — Gli enti più semplici, che avremo da considerare, diconsi forme fondamentali; alcune sono generate da punti, altre da rette, altre da piani. a) Le forme fondamentali in cui V elemento generatore è il punto, sono : 1°. La retta punteggiata, o semplicemente punteggiata, insieme di tutti i punti che appartengono ad una linea retta; la retta dicesi il sostegno della forma. 11°. Il piano punteggiato, insieme di tutti i punti che appartengono ad un piano; il piano è il sostegno della forma. 111°. Lo spazio punteggiato, insieme di tutti i punti dello spazio; lo spazio è il sostegno della forma. ò) Le forme fondamentali in cui V elemento generatore è il piano, sono : 1°. Il fascio di piani, insieme di tutti i piani che appartengono ad una retta; in esso il sostegno è la retta comune a tutti i piani (asse del fascio). 11°. La stella di piani, insieme di tutti i piani che appartengono ad un punto ; qui il sostegno è il punto comune a tutti i piani (centro della stella).
— 3 — IIF. Lo spazio di piani, insieme di tutti i piani dello spazio; qui il sostegno è lo spazio. e) Le forme fondamentali in cui l' elemento generatore è la retta, sono: I**. Il fascio di rette (o di raggi), insieme di tutte le rette che appartengono ad un punto e ad un piano per esso, vale a dire che passano per un punto e giacciono in un piano con- dotto pel punto; qui i sostegni della forma sono il punto comune (centro del fascio) ed il piano comune (piano del fascio). 11°. Il piano di rette o piano rigato, insieme di tutte le rette che appartengono ad un piano; il sostegno è il piano. IIF. La stella di rette (o di raggi), insieme di tutte le rette (dello spazio) che appartengono ad un punto; il sostegno è il punto comune a tutte le rette (centro della stella) (^). Si osserverà subito che se nelle definizioni precedenti si scambiano tra loro le parole punto e piano, lasciando inalterata la parola retta, le forme generate dal punto, cioè la retta punteggiata, il piano punteggiato e lo spazio punteggiato, si tras- formano rispettivamente nelle forme generate dal piano, cioè nel fascio di piani, nella stella di piani, nello spazio di piani. E tra le forme generate dalla retta, il fascio di rette si muta in se stesso, ed il piano rigato e la stella di rette si scambiano tra loro. Un siffatto modo di trasformare le proposizioni geometriche col nominato scambio di parole si dice trasformazione per dualità (nello spazio). E duali diconsi due proposizioni, due enti, due figure che si corrispondano in tal guisa. Le forme geometriche generate dal punto sono dunque duali delle forme generate dal piano, il fascio di rette è duale di se stesso ed il piano di rette duale deUa stella di rette. Un altro modo per classificare le forme fondamentali con- siste nel dividerle in forme di l'\ specie, di 2'\ specie, di B''. specie, comprendendo nelle forme di prima specie la retta punteggiata, il fascio di piani, il fascio di rette, tra quelle di 2''. specie il piano punteggiato, la stella di piani, il piano di rette e la Q) Lo spazio rigato, o insieme di tutte le rette dello spazio, non viene considerato d'ordinario come forma fondamentale.
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 355 — e si noti che, quando M
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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