Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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n." 37, es. 10) ) : « se un esagono è iscritto in una conica, le intersezioni delle
tre coppie di lati opposti stanno in linea retta». E dualmente (o trasformando
questo teorema mediante la polarità definita dalla conica) si ottiene
il teoi'ema di Brianchon sul seilatero semplice circoscritto ad una conica.
27) Se un triangolo è circoscritto ad una conica, le congiungenti i
vertici coi punti di contatto dei lati opposti passano per uno stesso punto
(Ceva) (es. 24); efr. n.° 37, es. 11)). E dualmente: se un triangolo è iscritto in
una conica, le intersezioni dei lati colle tangenti nei vertici opposti stanno
sopra una stessa retta (Carnot).
28) Se due n.goni semplici ABC... K, A'B'C... K' sono iscritti in
. . K le intersezioni dei lati corrispon-
una conica, e si indicano con M, N, .
denti AB A'B', BC •
B'C',. .. KA K'A', sussiste la relazione
(a) {ABM){A'B'M'){BCN)iB'C'N')... {KAB){K'A'B') = 1;
viceversa, se questa relazione si verifica per due n.goni, dei quali 2n — 1
vertici complessivamente appartengano ad una conica, anche l'ultimo ver-
tice appartiene alla conica. ( Si applichi il teorema di Carnot all' n.gono di
cui son lati successivi AA', BB',..., KK', ricordando il n.° 36).
Dualmente: se due n.lateri semplici ab..., a'b' ... sono circoscritti
ad una conica, sussiste la relazione
(/?) {ahm){a'b'm) . . . =
dove m ^ ab •
1,
a'b\ ecc; e viceversa, nel senso sopra spiegato.
29) Ora si ricordi che la relazione (a) trae con se la (/?), se o, 6, ... ,
a', b' indicano i lati AB, BC,..., A'B', B'C',... dei due n.goni (n.° 37,
es. 16)). Segue l'importante teorema di Poncelet ('): « Se due coniche sono
cosi situate, che esista un n.gono semplice iscritto nella prima e circoscritto
alla seconda, esisteranno allora infiniti n.goni iscritti nella prima conica e
circoscritti alla seconda», ogni punto della prima potendosi assumere come
primo vertice A' di un cosiffatto n.gono.
IV. — 30) I due teoremi dell' es. 27) possono riunirsi dicendo che
« un triangolo iscritto in una conica, ed il triangolo circoscritto formato
dalle tangenti nei vertici del primo, sono omologici, ed il centro di omologia
è polo dell'asse di omologia». Ora questo teoi-ema si dimostra facilmente
per via analitica, adoperando la equazione della conica in coordinate proiet-
tive, rispetto al triangolo iscritto scelto come fondamentale (n.° 196, es. 12)).
31) Il teorema precedente è caso particolare di questo: «Due trian-
goli polari l'uno dell'altro rispetto ad una conica sono omologici; il centro
e l'asse di omologia sono mutuamente polari» (Chasles); si intende che
si corrispondono nella omologia due vertici, dei quali ciascuno abbia come
lato opposto la retta polare dell' altro. Viceversa : « se due triangoli sono
omologici, esiste una conica rispetto alla quale i triangoli sono polari l' uno
dell'altro». (Anche qui si assuma uno dei triangoli come fondamentale di
un sistema di coordinate proiettive).
(1) La dimostrazione qui accennata è dovuta a P. Skreet.