Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 136 — che, se ^^ ~ aò = 0, e si suppone ad es. a =t^ 0, la (1) può scriversi (ax + /?) («x' + ^) =: 0, e fa vedere che ogni coppia della involuzione parabolica si compone dell'elemento fisso x = ^ e di un elemento x' variabile da coppia a coppia. Neil' elemento iisso cade 1' unico elemento unito. Di questa involuzione degenere non ci occuperemo nel seguito, e parlando di involuzione, intenderemo d' or- dinario che si tratti di involuzione iperbolica od ellittica. 86. Proprietà fondamentale degli elementi doppi di una involuzione. — Siano Z7, V gli elementi doppi di una involuzione, iperbolica od ellittica, ed A A' una coppia di elementi coniugati distinti. Sarà per ipotesi (UVAA') = (UVA' A)', si conclude (n.° 47) che i quattro elementi U,V,A,A' formano un gruppo armonico. Dunque: / due dementi doppi di una involuzione dividono armonicamente ogni coppia della involuzione; od anche (n.°73, a)): la caratteristica di una proiettività involutoria vale — 1 (i). Dati gli elementi doppi U, V di una involuzione, questa è pienamente determinata; e la costruzione dell'elemento A' con- iugato con un elemento noto A, si riduce alla costruzione del quarto armonico dopo tre elementi dati. x4.11a stessa operazione si riduce la costruzione di un elemento doppio di una involuzione, di cui si conosca l'altro elemento doppio ed una coppia AA'. 87. Costruzione degli elementi doppi di una involuzione. — Determinata una involuzione mediante due coppie A A', BB'^ costruirne gli elementi doppi significa costruire due elementi C7", 7, che dividano armonicamente AA' q BB'. Ora noi sappiamo risolvere graficamente questo problema (n.'' 53), quando (*) Allo stesso risultato si sarebbe giunti osservando che la (1) esprime, nel tempo stesso, la condizione perchè i due elementi x, x' siano coniugati nella nostra involuzione, e la condizione perchè dividano armonicamente la coppia (2) (n.° 54, a)).
— 137 — la involuzione appartiene ad una punteggiata, caso a cui ogni altro può ricondursi. Dalla discussione fatta allora, segue che : Una involuzione è iperbolica od ellittica, secondo che due sue coppie non si separano o si separano. Un^ altra costruzione, la quale si applica direttamente ad una involuzione appartenente ad un fascio proprio di rette, è ^^^^^^^^H^^^C^ suggerita dal metodo di Steiner, /T^^CT ^ ^\ che abbiamo adoperato nella ipo- // \V\"~— ^^ \ tesi di una proiettività generale / / \\^\ ^^^""^""^i^ (n.°77). / \ \A /i) Due fasci col centro comune >V. \ ... \^ v\J^ S, tra i quali passi una proietti- / \ ' - vita "" involutoria / \. ' ., \ \^ i (1) aa'bb' . . . -r: a'ah'b . . ., \ K!f/^' '" ^~\/ • .. \K segano sopra una circonferenza ^ passante per 8, due punteggiate proiettive, che diremo in involuzione, (2) AA'BB' ... -A A'AB'B.... Posto quindi M = AB' A'B, N= AB A'B', Tasse di proiettività r (n." 78) sarà la congiungente i punti M ed lY, e si dirà in questo caso asse d' involuzione. La MN sega la circonferenza nei punti doppi U, V dell" involuzione (2), i quali proiettati da >S' danno le rette doppie u, v richieste dell'involuzione (1). Secondochè Tasse d' involuzione è secante, esterno (o tangente) rispetto al cerchio, la nominata involuzione è iperbolica, ellittica (o paraboHca). Osservazione. — Se consideriamo sulla circonferenza una terza coppia dell'involuzione CC, le rette AC e A'C, BC e B'C, s'incontreranno (come AB e A'B') sull'asse d'involuzione. Perciò (n.*' 14) i triangoli ABC e A'B'C sono omologici, col- Tasse di omologia r, e le rette A A', BB', CC (e le analo- ghe congiungenti punti omologlii) concorrono in uno stesso punto T, che dicesi polo delV involuzione tracciata sulla circonferenza. \. ""'
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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dove si è posto per brevità — 7
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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