Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 370 — e detta s la tangente ivi, ricordiamo che il gruppo di punti A, B,C,D...è proiettivo, per definizione, al fascio S(Aj B, (7, i> ...); mentre il gruppo di tangenti a, 6, e, d . . .è similmente proiettivo alla punteggiata s{a, b, e, d . . .). Ora quel fascio e questa punteggiata sono proiettivi, tra loro, perchè la polarità determinata dalla conica muta ogni retta (ad es. SA) del fascio nel punto corrispondente (sa) della punteggiata; quindi, ecc. 219. Teoremi di Pascal e Bbianchon. — Dalla generazione del cerchio mediante due fasci proiettivi (uguali) abbiamo dedotto (n.*' 78) il teorema di Pascal sull'esagono iscritto in un cerchio. Lo stesso teorema e la stessa dimostrazione si trasportano alle coniche. Ma per queste curve il teorema è inver- tibile, e dà quindi la condizione necessaria e sufficiente perchè sei punti appartengano ad una conica. Per metter ciò in luce riproduciamo qui la dimostrazione. Trasformando poi questa per dualità piana, si perviene al teorema di destra, che il Bkian- CHON dedusse dal teorema di Pascal, mutando V esagono iscritto in un seilatero circoscritto mediante la polarità determinata dalla conica. Teorema di Pascal (1640): -S'è un esagono semplice è iscritto in una conica, le intersezioni delle tre coppie di lati opposti stanno sopra una stessa retta (detta di Pascal); e viceversa, se in un esagono semplice si verifica Vultima proprietà, i vertici di esso appartengono ad una stessa conica, che può anche degenerare in due rette (n.^ 70). Teorema diBRiANCHON(1806): 8e un seilatero semplice è circoscritto ad una conica, le congiungenti le tre coppie di vertici opposti passano per uno stesso punto (detto di Brianchon); e viceversa^ se in uìi seilatero semplice si verifica Vultima proprietà, i lati di esso toccano una stessa conica (inviluppo), che può anche degenerare in due punti (n.° 70). Dimostreremo il teorema di sinistra. Consideriamo sei punti A, B, C, D, E, F, dei quali supporremo (lasciando da parte i casi di degenerazione) che mai tre siano allineati. Da due di questi, A, E, proiettianio gii altri quattro ; sappiamo che la condizione necessaria e sufficiente affinchè i sei punti appartengano ad una conica, è 1) A{CBDF) A E{CBDF).
— 371 — Segando il primo fascio colla retta CD, il secondo colla CB, la condizione si traduce nell'altra 2) CRDM TV CBKN, dove S, M, K, N indicano punti sezioni delle rette cui corrispondono. Le due punteggiate riescono anzi prospettive, perchè G è punto unito; quindi la condizione 2) esprime che le congiungenti punti omologhi HB^ DK, MN passano per uno stesso punto P; od in altre parole, che il punto P, intersezione delle due prime rette, si trova allineato coi punti M ed N. Ora i punti P ^ AB DE, N = BC EF, M = CD • FA sono le intersezioni delle coppie di lati opposti (1" e 4°, 2" e 5", 3" e 6°) dell'esagono semplice AB ODE F. Si conclude che la condizione primitiva equivale a quella espressa dal verificarsi del teorema di Pascal. 220. Corollari dei teoremi di Pascal e Bbiakchon. — La dimostrazione del teorema di Pascal continua a sussistere se il vertice B coincide con J., purché per retta AB si intenda la tangente in A alla conica ; ed anche se inoltre il vertice D coincide con E, facendo un'analoga convenzione per la retta DE. L'esagono si riduce allora ad un pentagono, o quadrangolo semplice, di cui si considerano i lati e certe tangenti nei vertici. Si hanno cosi i seguenti corollari: Se un pentagono semplice è iscritto in una conica, la intersezione di due lati non consecutivi, la intersezione di altri due lati non consecutivi, e la intersezione del quinto lato colla tangente nel vertice opposto, stanno sopra una stessa retta. Se un quadrangolo semplice è iscritto in una conica, le intersezioni delle due coppie di lati opposti, e le intersezioni delle due coppie di tangenti nei vertici opposti, stanno sopra una stessa retta. (Si osservi che questo è contenuto nell'ultimo teorema del n.** 209).
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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