Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 702 — stanza del centro dal relativo piano tangente, dà un prodotto costante (uguale al quadrato del semiasse perpendicolare al piano principale con- siderato). 27) Segue che i segmenti di una normale, compresi fra il piede e le intersezioni coi piani principali, hanno rapporti, che non variano al variare della normale. 28) Da un punto generico S dello spazio si conducano le normali ad una quadrica a centro. Dalle equazioni, cui devono soddisfare le coordinate dei piedi di quelle, si deduca che per questi punti passano tre cilindri di secondo ordine, di cui ciascuno contiene uno degli assi, i punti all' infinito degli altri due assi, ed il punto S. Due di questi cilindri hanno in comune una retta impropria ed una curva sghemba del B.° ordine, la quale contiene i piedi delle dette normali. Osservando che i due cilindri e la quadrica data hanno in comune complessivamente otto punti, si conclude che « per un punto si possono condurre sei normali ad una quadrica a centro, i cui piedi stanno sopra una curva del terzo ordine, che passa per il punto dato, per il centro e per i punti all'infinito degli assi ». Per i sei piedi (e per quella curva) passano infinite quadriche, le cui equazioni si ottengono combinando linearmente le equazioni dei tre cilindri; tra queste quadriche si trova un cono, col vertice nel centro della quadrica data, ed un cono col vertice in S. Segue : « le sei normali, condotte da un punto ad una quadrica a centro, appartengono ad un cono (equilatero) del secondo ordine col vertice in quel punto » (Chasles). 29) Per un punto generico dello spazio si possono condurre cinque normali ad un paraboloide; il cono del secondo ordine, che esse determinano, contiene la parallela all' asse del paraboloide condotta per il punto. Capitolo V. Sezioni circolari. — Quadriche confocali. 399. Sezioni circolari di una quadrica; ricerca sintetica. — Esporremo in quest'ultimo Capitolo alcune proprietà metriche, che mettono in luce le relazioni di una quadrica col cerchio assoluto dello spazio. Proponiamoci anzitutto il problema delle sezioni circolari: « data una quadrica (che non sia una sfera), determinare i piani, che la segano lungo cerchi, o, brevemente, i piani ciclici ». Ricordiamo che la conica K, segata sopra una quadrica da un piano TT, ha, come punti all'infinito, le intersezioni della retta all'infinito p^ del piano colla conica all'infinito H^i della su-
— 703 — perfide. Ora, se -ST è un cerchio, quei punti all' infinito devono esser i punti ciclici di n (n.° 155), devono adunque trovarsi (oltre che su ^ao) sul cerchio assoluto dello spazio, Q^^ che è il luogo dei punti ciclici di tutti i piani dello spazio. Quei due punti saranno perciò intersezioni delle coniche H^, i2^, e la retta ^^^ del piano re richiesto sarà la congiungente di due tali intersezioni. Ora fu già notato (n.° 382) che le due coniche H^, iìr^ si segano in quattro punti immaginari, i quali si distribuiscono in due coppie (Jf, M'), (N, N') di punti immaginari coniugati. Il quadrangolo completo, che ha quei punti come vertici, ha due lati opposti reali MM', ]S[N\ gli altri quattro immaginari. E però reale il triangolo diagonale FBS del quadrangolo, ed ha come vertici i punti all'infinito degli assi della quadrica. Ricordando che ciascuno dei sei lati del detto quadrangolo è retta impropria di uno, anzi di infiniti piani ciclici paralleli, concludiamo : Una quadrica è segata lungo cerclii dai piani di sei fasci impropri, dei quali però due soli si compongono di piani reali. I piani di ciascuno dei sei fasci sono paralleli ad uno degli assi della quadrica, mentre ogni asse è parallelo ai piani di due dei sei fasci. In particolare, i piatii ciclici reali sono paralleli ad uno stesso asse. Il risultato vale anche per i coni (a vertice proprio). In particolare, ogni cono reale ammette due serie di sezioni circolari reali, e può quindi riguardarsi come cono circolare, otte- nuto mediante la proiezione di un cerchio da un punto estemo al piano di questo. L' enunciato esige invece qualche avvertenza, sopra cui ritorneremo, nel caso dei paraboloidi. Fermandoci ora sulle quadriche a centro, possiamo anche dire : Fra i piani diametrali di una quadrica a centro, sei, di cui due reali, segano la superficie lungo cerchi ; per ogni asse della superficie passano due di quei sei piani ; in particolare, per uno degli assi passano i due piani ciclici reali, i quali (come è visibile per ragioni di simmetria) risultano simmetrici rispetto ai due piani principali secantisi lungo quell' asse.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 119 — della proiettivita ABC
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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- e\c -j- Q cos f) = —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706: — 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708: — 689 — Se invece avessimo adop
Page 709 and 710: — 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712: Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714: — 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716: — 697 — Ora questo teorema può
Page 717 and 718: — 699 — 2) Ogni iperboloide rif
Page 719: — 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 723 and 724: — 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726: — 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728: — 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730: — 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732: — 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734: — 715 — Ora sappiamo che un con
Page 735 and 736: — 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738: — 719 — si trovano distribuiti
Page 739 and 740: — 721 — per la direttrice /'. l
Page 741: — 723 — due punti fissi della i
Page 744 and 745: — 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747: (22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749: — 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752: INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754: — 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756: — 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758: — 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760: — 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762: — 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764: — 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766: — 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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