Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 84 — una coordinata nota k = {ABEF) ; mentre i due elementi incogniti X, Y avranno coordinate incognite x, y. Le condizioni a cui devono soddisfare X, Y, {ABXY) =. - 1, (EFXY) = - 1 si traducono nelle due equazioni (± 00, 0, a:;, 2/) = — 1, (1, A:, x, y) = — 1, le quali, scritte per disteso, danno (cfr. n.' 43, 50) (1) X = — y k + xy - ^ (k + l){x + y) =.= 0; però alla (2), tenendo conto della (1), si può sostituire la equazione (2') ^2 ^ f,^ donde si trae ^ = ^i- Vk, y = zf:\/J^ i E indifferente prendere nelle due espressioni, ad un tempo, segni superiori, o i segni inferiori, visto che X, Y godono uffici scambievoli nel problema trattato. Concludiamo che se k = (ABEF) è positivo, ossia (n.° 39) se le due coppie AB, EF non si separano, esiste una coppia di elementi + J/A:, — \/k, che dividono armonicamente le due coppie date; se è A; < 0, e quindi le due coppie AB, EF si separano, il problema non ammette soluzioni; se finalmente è A; = 0, oA:=±Qo,e quindi le due coppie AB, EF hanno un elemento comune, questo elemento, contato due volte, dà con AB (ò con EF due gruppi armonici degeneri. Limitandoci "" ai primi due casi, diremo : Date sopra una forma di prima specie due coppie di elementi, esiste non esiste una {unica) coppia che divide armonicamente quelle, secondo che le due coppie date non si separano si separano. Risolveremo ora grafica- mente il problema, trattando il caso che A, B, E, F siano punti di una punteggiata propria u. Supposto per il momento di conoscere i punti cercati X, Y ,
— 85 — notiamo che il punto medio tra quelli, soddisfa alle condizioni (n.** 50, II) 0X2 ^ j- = OA OB =z OE OF. Ora per costruire l'unico punto che rende uguali i due ultimi prodotti, fissato un punto arbitrario M fuori di m, si conducano i cerchi MAB, MEF, i quali si segheranno ancora in un punto N. La retta MN incontrerà u in un punto {^) tale che OM ON = OA OB = OF OF. Se il punto è esterno ad uno (e quindi anche all'altro) dei due cerchi nominati, condotta da la tangente T al detto cerchio, sarà OT' = OA OB = OF ' OF = OZ^ = OT^. si conclude che il cerchio di centro e raggio OT sega u nei due punti X, Y richiesti. D' altronde è facile vedere che se le coppie AB ed FF non si separano, i due punti M, JSf cadono da una stessa banda di u, sicché è esterno ai due cerchi ed il problema ammette soluzione ; mentre se AB ed FF si separano, 1/, N stanno da bande opposte di u, è interno ai due cerchi ed il problema non ammette soluzione. Esercizi — 1) Per costruire il quarto punto armonico D dopo tre punti dati A, B, C, si conduca per C una retta arbitraria, e su questa si prendano a partire da C, da bande opposte, due seguenti uguali CA', CB'; si costruisca poi il punto S = AA' • BB'; come riuscirà la retta -SD? Si può dare una costruzione analoga di un gruppo armonico in un fascio di rette? 2) Un'altra costruzione di un gruppo armonico di punti è fondata sul teorema: le rette congiungenti un punto di un cerchio cogli estremi di un diametro, dividono armonicamente ogni corda perpendicolare a quel diametro. 3) Lo stesso problema si risolve ricorrendo al teorema: se due cerchi si segano ortogonalmente (cioè in modo che le tangenti in ciascuna intersezione siano perpendicolari), i diametri dell'uno sono divisi armonicamente dall' altro. 4) Ricorrendo alla costruzione mediante il quadrangolo completo, risolvere colla sola riga i problemi seguenti: a) dato un segmento col suo punto medio, condurre per un punto la parallela alla retta contenente il segmento; (^) La retta MN riesce parallela ad u nel solo caso che le coppie AB, EF abbiano uno stesso punto medio; allora quest'ultimo punto, insieme al punto all' infinito della retta «, fornisce la coppia richiesta X Y.
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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