Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 506 — e, in particolare, se quel punto è T origine, ax -\- bìj -\- cz = 0. 288. Fascio dì piani. — Due piani distinti ji) ax -\- hy -\- cz -\- d = 0, ' 7c') a'x 4- h'y -^ c'z -\- d' = determinano un fascio di piani; come si potrà scrivere l'equazione di un terzo piano del fascio ? Formiamo una combinazione lineare delle equazioni date, e sia n") X{ax-\-hy^cz-\-d)-\-f^{a'x-^h'y-^c'z-\-d') = Q, ossia (;ia + f^a')x-^ {Ab + f^b') y-i-(Zc-{-/^c')z-^{Xd-{- fid') = 0, dove /l, /f* sono due parametri non entrambi nulli. L'equazione lineare ti") rappresenta intanto un piano ti". Di più, ogni punto proprio P comune ai due piani ti, ti' appartiene certo al piano ti", perchè le coordinate di P soddisfano alle equazioni tt), ti') ed in conseguenza alla tv"). Dunque, se i due piani tt, ji' si se- gano in una retta propria, questa appartiene pure al piano ti". Se invece i due piani ti, ti' sono paralleli, le due terne di quan- tità (a, 6, e), (a', ò', e') sono proporzionali; ma allora risultano pure proporzionali le due terne (a, b, e), (Àa -\- /uà', Ab -{- f^b', Zc -\- if*c'), sicché il piano ti" riesce parallelo a ti, ed appartiene ancora al fascio titi'. À Al variare di A e f^, o, meglio, del rapporto--, il piano ti" « ^ . . « varia nel fascio tvtv', e lo descrive interamente, perche si può sempre calcolare il valore di in modo, che il piano tv" passi per un punto assegnato ad arbitrio nello spazio. Conchiudiamo che : la equazione di ogni piano formante fascio con due piani assegnati può scriversi come una combinazione lineare delle equazioni di questi. A due valori distinti '^ , -^ del rapporto dei due pararne- tri f.1 corrispondono due piani fÀ, ti", ti"' del fascio, che formano coi due primi ti, tc' il doppio rapporto {n, TI , TI , TI ) ^- . j; ciò si dimostra segando i quattro piani con uno dei piani coor- dinati, e tenendo presente il n.'' 107. ,
(!') — 507 — 289. Equazioni di una retta nello spazio. — Riprendiamo due equazioni lineari ^^ i ax -\- by -^ cz -\- d = 0, \ a'x 4- h'y -j- c'z \- d' = 0, rappresentanti due piani, che supporremo distinti e non paralleli. Ad ogni soluzione (e, y, z) del sistema (1) corrisponde un punto, che appartiene alla retta r intersezione dei due piani ; e, viceversa, ogni punto di r ha coordinate soddisfacenti le (1). Diremo perciò che il sistema (1) rappresenta la retta r ; una retta nello spazio è rappresentata da due equazioni lineari^ le quali, prese isolatamente, rappresentano due piani passanti per la retta. E chiaro che la stessa retta r potrà rappresentarsi mediante due equazioni, che si ottengano dalle (1) formando due combi- nazioni lineari distinte (n.° 288). Possiamo disporre dei relativi parametri in guisa da eliminare una volta y, ed una seconda volta X, fra le (1). Otteniamo così le due equazioni j (ab' — a'b) x + {cb' — c'b) z + {db' — d'h) = 0, \ {ba' — b'a) y-j- {co.' — C a) z-^{da' — d'a) = 0. E però da notare che le operazioni eseguite non sarebbero lecite, se 6 e 6', oppure a ed a', si annullassero insieme; inoltre, che, se ab' — a'b fosse nullo, le due equazioni ora scritte sarebbero equivalenti, e rappresenterebbero un unico piano pas- sante per la retta r e parallelo al piano xy ; la retta stessa sarebbe parallela ad xy (o vi giacerebbe). Supposto dunque che ab' — a'b 4-- 0, vale a dire, che la retta r non sia parallela al piano xy (ne vi giaccia), noi possiamo porre le equazioni di r sotto la forma (!'). Conviene anzi risolvere le (1') rispetto ad X, y ordinatamente, e scri- verle cosi: ' ^ X = Iz + 2>, f y =z mz -\- q. Le (2) si chiamano talvolta equazioni ridotte della retta; esse, isolatamente, rappresentano i piani proiettanti la retta r dai punti all' infinito degli assi y, x rispettivamente, od anche,
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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— so- sia divisa armonicamente da
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 121 — proiettività parabolic
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— 125 — Se nella proiettività
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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% — 245 — continuità, si consi
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 415 — dove p è una costante
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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- e\c -j- Q cos f) = —
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Page 531 and 532: — 513 — allora, od esiste un si
Page 533 and 534: — 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536: — 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538: — 519 — 297. Distanza dì due p
Page 539 and 540: e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542: — 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544: — 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546: — 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548: — 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550: — 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552: — 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554: — 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556: — 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558: — 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560: — 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562: ^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570: — 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576:
— 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578:
— 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580:
— 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582:
— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586:
— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590:
X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596:
— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600:
— 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602:
-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604:
— 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606:
— 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608:
— 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610:
— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616:
— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618:
— 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620:
— 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622:
— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624:
— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628:
— 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630:
— 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632:
— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640:
— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644:
— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650:
— 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652:
— 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654:
— 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656:
— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660:
— 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662:
— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674:
— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676:
— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688:
— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692:
— 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694:
— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698:
— 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700:
— 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702:
questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708:
— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714:
— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722:
— 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724:
— 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726:
— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732:
— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
Page 735 and 736:
— 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738:
— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747:
(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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