Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 186 — e tenendo conto dei valori di q, q' , senza preoccuparci dei doppi segni, (8) cos rr' —- ^ ^' ^ hi' — (ai' -f a'b) cos xy Va^-{-b'^ — 2abcosxy Va'^ -\-b'^ — 2a'b' cos xy In assi ortogonali, il coseno deW angolo di due rette ax -}- by -\- e = 0, ax -\- b'y -\~ e' = è espresso dalla formola (8') cos rr aa' + bb' Va'' + 62 Va'^ _j- ò'2 Per avere il seno dell'angolo rr', basta ricordare che sen'^ rr' = 1 •— cos ^rr'; fatti i calcoli, nella ipotesi di assi ortogonali, si trova (y ) sen rr = , / =— j - — , ^ Va' ^- b^ Va'^ + ò'2' mentre, in assi obliqui, figurerebbe ancora, come fattore del numeratore, sen xy, e i radicali del denominatore andrebbero completati come nella (8). Dividendo la (9') per la (8') si ottiene, in assi ortogonali, {W ) tg rr _ ^^, _^ ^^, tipo Se le due rette r, r' fossero date mediante equazioni del la (10') diverrebbe y =^ }ìi X -{- C, y (10") tgrr' = J^—ZL^. ^ ^ ' ^ 1 + mm' z=. m'x -\- C ', alla quale si giunge anche direttamente ricordando (n.° 114, (2')) che tga^r = w, tgxr' = m', rr' = xr' — xr. Questa osservazione anzi ci dice che la (10"), o (10'), è esatta anche nel segno, e quindi che nelle due formole (8') e (9') i denominatori devono esser presi collo stesso segno, comunque questo venga scelto. 118. Condizione di perpendicolarità di due rette. — La condizione affinchè le due rette r^r' siano perpendicolari fra loro,
— 187 — è espressa dall' annullarsi di cos rr', e quindi del numeratore della (8) o (8'). Dunque: In assi ortogonali^ la condizione perchè le due rette ax -^ by -\- e = 0, a'x + ò'y -f e' = siano perpendicolari fra loro è aa' + bb' — 0. Quest'ultima ci fornisce il rapporto dei coefficienti a' e b' di ogni retta r', che sia perpendicolare, ad una retta r asse- gnata; se ad es. prendiamo a' == ^ (il che è lecito finche a ^ 0), dovremo poi assumere b' := — y . Quindi : In assi ortogonali, la equazione della retta condotta per il punto (x',y') normalmente alla retta data ax -\- by -\- e = 0, è X — x' _ y — y' a b Se le due rette r, r' sono date mediante le equazioni m'.c -f- C", la condizione di perpendi- y = mx -]- C, 7/ = colarità è mm' :=: — 1 ; e l'equazione della retta perpendicolare alla prima, condotta dal punto {x', y'), è y — y' = — ^^y(^ — ^')- 119. Segno di un'area piana. — Dobbiamo ancora procurarci la formola che esprime l'area di un triangolo (o poligono). Accenneremo anzitutto ad una convenzione che si suol fare riguardo ai segni delle aree di figure piane, convenzione di cui si riscontra l'utilità in varie questioni di matematiche pure ed applicate. Consideriamo nel piano un' area limi- tata da una linea chiusa, poligonale o curva {contorno o circuito), che supporremo non intrecciata. Un punto mobile può descri- vere il contorno in due versi opposti. Quando il punto si muove in uno dei due versi, che diremo positivo, il raggio congiungente quel punto mobile ad un punto fisso, interno all'area (e sufficientemente vicino alla posizione del punto mobile), ruota intorno al punto
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 121 — proiettività parabolic
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— 127 — è omologico al triango
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 399 — La costruzione degli as
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 405 — 7) Dati in grandezza e
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 455 — Al contrario, le propri
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 459 — quella affinità che tr
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— 461 — sono paralleli agli asi
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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— 465 — parallela alla retta P,
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— 468 — rebbe quando fosse rich
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 472 — sistema di coordinate p
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 488 — angoli particolari che
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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