Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 488 — angoli particolari che possono esser trisecati coi detti strumenti; tali sono ad es. l'angolo retto (a = db oo), l'angolo semiretto (a = l)j ecc. La trisezione di un angolo qualsiasi può ottenersi in modo elegante, ricorrendo ad una curva del 4° ordine, la concoide di Nicomede (n.° 163, 2)). Detto AOM l'angolo in questione, da un punto M di un lato si conduca la perpendicolare MA sul- r altro lato, e si descrìva poi la concoide che ha il vertice come polo, la retta MA come base, e il doppio del segmento OM come intervallo; di questa concoide basta il ramo che è separato da mediante la base (cfr. la figura di pag. 269), Condotta per M la parallela ad OA fino ad incontrare in N il detto ramo di curva, si congiunga N con 0; dico che l'ultima retta forma con OA un angolo 95 = -|- A'OM. Infatti, se indichiamo con S il punto in cui ON sega MA^ e con T il punto medio di 8N^ per una nota proprietà del triangolo ret- tangolo 8MN, si ha MT = -~- SN = OM (metà deW intervallo), quindi TOM = 3£T8 = 2Mm — 2N0A, che giu- stifica la nostra affermazione. ^77. Il problema dei poligoni regolari. I. La divisione di un dato angolo (p in un numero intero n di parti uguali dipendo da una equazione di grado w, quando si consideri come quantità data tgg? e come incognita tg ---• Quella equazione è irriducibile per un valore generico di q>] il problema non può dunque risolversi in generale mediante la riga e il compasso, quando n non sia una potenza di 2. Ma se w = 2* (Zr intero positivo), il problema si risolve coi detti strumenti, qualunque sia 90; giacché si riduce a k bi- sezioni successive dell'angolo go e degli angoli che via via si ottengono. E la risoluzione della equazione di grado 2* si ese- guisce risolvendo k successive equazioni quadratiche. II. Un esame speciale esigono valori particolari dell'angolo cp. n caso più interessante si presenta quando (p r=:2n, giacché ad esso corrisponde la iscrizione di un n. gono regolare in un cerchio. Qui conviene assumere come incognita il numero complesso 2n 1 z = cos —— -|~ ^ sen . 2yr n
— 489 — noto il quale, è pur noto il lato dell' n. gono iscritto nel cerchio di raggio 1. Ora z è radice della equazione binomia zn — \ — 0. Questa però è riducibile nel campo JT = [1], giacche 2~ — 1 r= (0 — \){z--^ + 0"-'^ -[-••• + !)• Fatta astrazione dalla radice = 1, priva di interesse, rimane r equazione la quale, nella ipotesi che n sia un numero primo, Gauss di- mostrò essere irriducibile (^). Dunque la iscrizione di un n.gono regolare in un cerchio, per n numero primo^ è ineseguibile colla riga e col compasso, a meno che n — 1 non sia una potenza di 2. Di fronte a questo risultato negativo, è notevolissimo il risultato positivo pure dovuto a Gauss (1796) (^): Si può iscrivere in un cerchio^ colla riga e col compasso^ un n. gono regolare, ogniqualvolta n sia un numero primo della forma n = 2'^ -\- 1 (k essendo un numero intero positivo). I più piccoli valori di n che soddisfano a queste condizioni sono n = 3, 5, 17, 257, (corrispondenti a A; = 1, 2, 4, 8); dei relativi poligoni regolari solo i primi due erano noti agli antichi; dei due successivi furono indicate costruzioni elementari, fondate sulla discussione algebrica della detta equazione di grado n — 1 (^)- Volendo considerare anche i valori composti di n, si trova il teorema seguente: Affinchè si possa iscrivere in un cerchio^ colla riga e col compasso^ un n.gono regolare^ è necessario e sufficiente che i fattori primi dispari componenti il numero n siano tutti della forma 2* -|- 1, e tutti compariscano alla prima potenza] (il fattore 2 può comparire a potenze qualsiasi). ('j Si troveranno semplici dimostrazioni nell'opuscolo del Klein, pag. 18, nell'articolo citato di Enriques, Sulle equazioni algebriche...^ pag. 373, nel volume del Capelli, pag. 638. (^) Per la dimostrazione rinviamo il lettore agli autori sopra citati. (^) Si vedano, per n = 17, tre costruzioni nell' articolo di Daniele, Sulle costruzioni delV ettadecagono regolare., inserito nel Volume citato di Enriques, pag. 397.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 149 — dalla determinazione do
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 369 — Queste proposizioni, di
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Le infinite coniche circo- scritte
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Page 531 and 532: — 513 — allora, od esiste un si
Page 533 and 534: — 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536: — 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538: — 519 — 297. Distanza dì due p
Page 539 and 540: e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542: — 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544: — 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546: — 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548: — 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550: — 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552: — 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568:
— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574:
— 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576:
— 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578:
— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586:
— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590:
X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596:
— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600:
— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604:
— 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606:
— 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608:
— 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610:
— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622:
— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628:
— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632:
— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640:
— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644:
— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650:
— 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652:
— 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654:
— 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656:
— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660:
— 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662:
— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676:
— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688:
— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700:
— 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702:
questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708:
— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714:
— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722:
— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726:
— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732:
— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738:
— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747:
(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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