Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 356 — Vogliamo ora esaminare quale particolarità presenti la curva -|- âx^xz -\- 2a-2^yz =. 0, quando è (2) verificata la relazione ^ = 0. E noto che la (2) è condizione necessaria e sufficiente, af- finchè esistano tre numeri non tutti nulli Xq, y^, Zq^ tali da soddisfare alle tre equazioni (3) < aîX -{- «22 2/ -\- 0,23^ = 0, ( «31^ + a^^y + «33 = 0, ottenute annullandole tre semiderivate parziali del polinomio (1); precisamente si ha, quando non siano nulli tutti i minori del secondo ordine di A, = J-ii '. : Ai2 Ai3 ^0 '• yo '• ^0 =:= J.21 : ^22 • ^23 =^ Aî : J.32 : -^33. Consideriano ora quel punto 7 che ha le coordinate {xq , y^ , Zq). Esso intanto sta sulla curva (1), perchè se, dopo aver sosti- tuito nelle (3), al posto delle variabili, le Xq, y^, Z(^, moltiplichiamo le tre identità così ottenute per Xq, y^, Zq, e sommiamo, risulta f(ô, 2/o, ^0) = 0- Se invece moltiplichiamo le stesse identità rispettivamente per X, y, 0, coordinate di un punto arbitrario P, e sommiamo, avremo U, y, z j Approfittando di queste uguaglianze, cerchiamo le interse- ~ zioni della curva (1) colla retta VP. Se Q{kx + Xq, ky + ^0, kz + z^) è una tra queste, il parametro k deve soddisfare all'equazione (cfr. n." 197) (4) k^^fix, y, z) + 2A:/-(^«' ^°' ^«) + f{x,, y„ z,) = 0, la quale, avendo nulli il termine noto e il coefficiente di 2A;, fornirà per k due valori uguali a zero. Segue che le interse-
I — 357 — zioni della retta VP colla curva (1) coincidono in F; a meno che il punto P{x, y, z) stesso non appartenga alla curva, nel qual caso, avendosi pure f{x, .?/, z) = 0, la (4) diviene una identità, ed è soddisfatta da ogni valore di k, sicché la retta VP appartiene allora alla curva. Tutto ciò dimostra che la curva (1) è costituita da due rette; queste si ottengono, ad es,, proiettando da V le intersezioni della curva stessa con una trasversale qualsiasi non passante per V. Viceversa, se una equazione (1) rappresenta una coppia di rette, invertendo il ragionamento ora fatto^ si trova che deve esser nullo il discriminante. Dunque: Condizione necessaria e sufficiente affinchè una equazione di secondo grado, in coordinate di punti, rappresenti una coppia di rette, è che sia zero il discriminante ; le coordinate omogenee della intersezione delle due rotte (punto doppio della conica de- genere) sono proporzionali ai complementi algebrici degli elementi di una stessa linea nel discriminante (^). Le duo rette componenti la coppia possono esser reali e distinte, reali e coincidenti, o immaginarie coniugate. Il caso intermedio va però considerato in modo speciale, come risulta da ciò che segue. Noi abbiamo supposto, nella discussione precedente, che non siano tutti nulli i minori del secondo ordine di A. Esaminiamo ora la ipotesi opposta. Allora le equazioni (3) vengono verifi- cate da ogni terna di valori {xq, y^, Zq) soddisfacenti una di esse, che non sia una identità. Sarà questa, ad es., la prima delle (3), quando non siano tutti nulli i coefficienti «n, cb\2i «13 Questa equazione rappresenta una retta, di cui ogni punto (•^0) Voi ^0) h^ Is proprietà che prima spettavano al punto V. Perciò la (1) rappresenta la retta stessa contata due volte {retta doppia). Ciò d'altronde risulta subito dall'identità che segue, o da una delle analoghe, facilmente dimostrabili nelle ipotesi A,,k = in cui ci siamo posti: auf(x, y, z) = {anx + aîy + «13^)". (*) In linguaggio algebrico, l'annullarsi del discriminante della (1) è la condizione perchè il polinomio (1) sia il prodotto di due funzioni lineari ed omogenee di x, y, z. •
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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