Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

dove f{x, y, 0), f{x',
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?/', z') sono i valori assunti dal polinomio
(1), quando in luogo delle variabili si sostituiscano le coordinate
di P o di P', e dove inoltre si è posto per brevità
', fi , A^ia^^xx'
^^ ' ^ '
Ara.,^ijy' A-a^^zz' -^a^^{xy' ^yx')
"^ ^ + a,,{xz' + zx') + a,,{yz' + zy')
= {ttnX -\- a,^y -f ai^z)x'
(3)^ + («21^ + «22^ + a.^z)y'
= {a-^ix' -{- ay>y' -}- ai3z')x
-\- (a^,x' -]- «22^'+ atzz')y
+ («312^' + «32?/' + «SS^;')^-
Sul polinomio stesso va notato:
1) che esso è lineare e simmetrico rispetto alle due terne
di valori {x^ y, z), (x', y\ z'), prese separatamente (come mostra
la prima espressione del polinomio);
2) che, ordinato ad es. secondo x', y\ z' (come nella seconda
espressione), i coefficienti rispettivi sono le semiderivate
parziali di /"(ic, y, z), prese rispetto ad x, y, z (^);
3) che, se si suppongono le tre quantità x\ y\ z' identiche
rispettivamente alle tre x, y, *, il polinomio (3) si riduce al
polinomio f{x, y, z).
La (2) è una equazione di secondo grado in k. Se ki. k.,
ne sono le radici, i punti Qi, Q.>, comuni alla curva ed alla
retta PP', avranno le coordinate
Qi(k,x + x\ k,y + ?/', k,z + z'),
Q^ik^x + x', k.,y A- y\ k.z -\- z').
Cosi, anche per questa via, resta confermato che una conica
è segata in due punti (reali e distinti, reali e coincidenti, o
immaginari) da una retta.
198. Tangente. — Se il punto P'(x', y\ z') è un punto
della conica, allora f(x\y',z') = 0,e quindi l'equazione (2)
manca del termine noto ed ha una radice A:i = 0; il punto Qi
(^) Adottando la segnatura delle derivate parziali indicata al n.° 149,
la seconda espressione del polinomio /"( ',
',
',) si presenta sotto la forma
-g- {x'f'x -\- y'f'y -\- z'f'z)\ e la terza espressione si deduce dalla seconda
scambiando le a?, 2/, z colle x\ y\ z'
.
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