Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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IV non troverà nemmeno traccia dello sforzo, a cui deve adattarsi chi vuole da un unico punto di vista osservare un orizzonte troppo vasto. Ogni questione vien qui discussa col metodo che più si presta ad approfondirla, e vari argomenti, esaminati sotto molteplici aspetti, acquistano un singolare rilievo. I mezzi di ricerca di cui il lettore dispone fin dai primi capitoli, avrebbero consentito di dare al mio corso una mag- giore ampiezza ed un carattere più elevato. Non ho ceduto a questa tendenza, pensando che i giovani, a cui le mie lezioni si rivolgono, sono avviati, per la maggior parte, alla Scuola degli Ingegneri; perciò, ad es., nella geometria piana ho fatto uso continuo di coordinate cartesiane, relegando in alcuni paragrafi, secondari le coordinate proiettive, che, a giudicare dal titolo della presente opera, avrebbero dovuto tenervi una parte es- senziale. Ma, pur astraendo dalla ragione suddetta, io penso che, di fronte al continuo sviluppo della scienza, intesa nel senso più largo, di fronte alle cognizioni sempre più varie che ormai si esigono da ogni spirito colto, non convenga dare ai nostri primi corsi universitari una soverchia estensione. Ciò che importa è di mettere in piena luce le idee larghe e feconde che reggono un determinato ramo di studi, per ricavarne coi mezzi più semplici i risultati essenziali, lasciando in ombra i particolari minuziosi che solo interessano chi di tutta la scienza guardi un campo ristretto. Ad accrescere in varie direzioni la cultura dei volonterosi, ad educarne il gusto, provvedono i numerosi esercizi di cui ho voluto arricchire questo volume. Con assidua cura ho cercato di disporli in ordine logico, distribuendoli, per ciascun capitolo, in gruppi a seconda delle loro mutue affinità, e spesso li ho forniti di un cenno di risoluzione, affinchè il lettore possa grada- tamente, e senza sforzo eccessivo, giungere a nuove verità importanti e riposte. E nella scelta ho ricorso, quante volte ho potuto, alle opere dei fondatori della Greometria moderna,
procurando sempre, e cogli esercizi, e col testo, e colle note storiche che lo accompagnano, di far penetrare nello studioso lo spirito di quei Grandi, nei quali è dubbio se debba più ammirarsi l'acume dello scienziato o la grazia dell'artista. vn Io spero che quest'opera possa dare ai giovani, cui è dedi- cata, solide basi per progredire negli studi geometrici; ad essi riuscirà facile ed istruttivo approfondire in vari punti queste prime cognizioni colla lettura di qualcuno degli ottimi trattati, ove la Geometria proiettiva o la analitica vengono esposte sepa- ratamente, coi metodi propri a ciascuno dei due rami (^). Non mi fermerò qui ad enunciare i singoli argomenti trattati nel presente volume; l'indice particolareggiato di cui esso è fornito provvede a ciò. Ma prima di chiudere queste righe, debbo esprimere viva riconoscenza al D.'" G. Bisconcini per la cura con cui volle disegnare le numerose figure intercalate nel testo. Eoma^ Luglio 1903. (^) Fra i molti, citerò solo quei trattati di cui ho più particolamente profittato nella redazione di quest' opera. Per la Geometria analitica : D'Ovidio, Geometria analitica (3^ ediz.), Torino, 1903. Saxmon, a ireatise on Conio Sedions; opera di cui esistono traduzioni in francese, tedesco, ed anche in italiano {Trattato analitico delle sezioni coniche , Napoli, 1868), quest" ultima però fatta sopra una delle prime edizioni inglesi. Per la Gleometria proiettiva : V. Staudt, Die Geometrie der Lage (1847), di cui fu pubblicata una traduzione italiana {Geometria di posizione^ Torino, 1889). Reye, Die Geometrie der Lage, varie edizioni tedesche (l'ultima in 3 voi.), una traduzione francese (in 2 voi.) ed una italiana del 1" volume {La Geometria di posizione, Venezia, 1884). Enriques, Lezioni di Geometria proiettiva, (Bologna, 1898).
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— 51 — scini con se il proprio
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 61 — Il procedimento si esten
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 91 — Capitolo II. Proiettivit
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— 97 — ad es., Xo
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 113 — liari {8 ed 8\ oppure s
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 163 — la quale esprime che i
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 213 — di numeri, e le ^ rette
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— 215 — UN. La ipotesi è dunqu
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— 217 — H punto Z ha le coordin
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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— 289 — * Osservazione II. —
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— 295 — se vi è un terzo punto
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l — 299 — Se poi di una retta a
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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l — 305 — trova che le coordina
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 329 — 3) Introdotta sul princ
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 455 — Al contrario, le propri
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 461 — sono paralleli agli asi
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 480 — blema mostreremo tra po
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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