Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 588 — h) oppure, dei quattro punti uniti, tre almeno stanno sopra una retta, ed allora ogni punto di questa è unito (n.° 66). Si conclude che una collineazione, non identica, nello spazio, la quale abbia più di quattro punti (o piani) uniti, ha come uniti tutti i punti di (o i piani per) una retta, oppure tutti i punti di un piano (o i piani per un punto). Esaminiamo anzitutto la ipotesi a), la quale conduce ad una particolare collineazione, detta omologia solida. Sia a il piano di omologia^ di cui sono uniti tutti i punti, e quindi tutte le rette. Presi nello spazio due punti corrispondenti distinti J., A\ si dimostra, imi- tando l'analogo ragionamento di geometria piana (n.° 178), che è unita la retta AA\ ed è unito ogni piano per essa. La omologia possiede dunque infiniti piani uniti, i quali, per quanto sopra si disse, dovranno appartenere ad un fascio o ad una stella. Ma il primo caso si esclude, osservando che per un punto generico A dello spazio passano infiniti piani uniti. Si conclude dunque l' esistenza di un punto 8^ centro di omologia, tale che è unito ogni piano, e quindi ogni retta, per esso ; anche il punto 8 è unito. Risulta così che la omologia solida ha, come uniti, tutti i punti del piano di omologia a, ed inoltre il centro di omologia 8 (che potrebbe eventualmente appartenere a a) ; ha uniti tutti i piani per 8 ed il piano a ; finalmente ha unite tutte le rette di a e le rette per 8. AU'infuori di questi, nessun altro elemento è unito nell'omologia; si dimostra col ragionamento analogo a quello tenuto in geometria piana (n." 178). Procedendo come al n.'' 179, si dimostrano le seguenti pro- prietà dell' omologia : Punti distinti, corrispondenti in una omologia solida, sono allineati col centro ; piani distinti, corrispondenti, sì segano sul piano di omologia; rette distinte, corrispondenti, si segano sul piano di omologia, e determinano un piano passante pel centro. Una omologia è individuata, quando di essa si conoscano il coltro, il piano, e due punti corrispondenti allineati col centro, due piani corrispondenti secantisi sul piano di omologia. Un primo caso particolare metrico di omologia solida, detto omotetia, si presenta, se il piano di omologia è all' infinito, mentre il centro è proprio. Neil' omotetia rette corrispondenti, o
— 589 — piani corrispondenti, sono paralleli tra loro; punti corrispondenti sono allineati col centro, e le loro distanze da questo stanno in un rapporto costante. Se, in particolare, questo rapporto vale — 1, i segmenti congiungenti punti omologhi sono bisecati dal centro, e la omotetia diventa la simmetria rispetto ad un centro (caso particolare di collineazione involutoria) ; figure omologhe sono inversamente uguali. Un secondo caso particolare metrico, detto affinità omolo- gica^ si presenta, quando il centro di omologia è improprio ed il piano proprio. Tutti i segmenti, che congiungono punti omologhi, riescono paralleli, e sono divisi dal piano di omologia (ove lo incontrino) in un rapporto costante. Se questo rapporto vale — 1, e quei segmenti risultano perpendicolari al detto piano, si ha la simmetria rispetto ad un piano, nella quale figure corrispondenti sono inversamente uguali. Finalmente, se il centro ed il piano di omologia sono impropri, la omologia diventa una equipollenza, collineazione, nella quale tutti i segmenti congiungenti punti omologhi risultano equipollenti. Ogni figura può esser sovrapposta alla corrispon- dente mediante una traslazione (movimento in cui tutti i punti descrivono segmenti equipollenti); figure corrispondenti sono quindi direttamente uguali. 336. Un esempio di collineazione assiale. — Dovremmo discutere ora la ipotesi 6) del n.° precedente, relativa ad una collineazione, che possiede una retta r composta di punti uniti. Si dimostra allora che la collineazione possiede pure una retta r', asse di un fascio di piani uniti. Ma poiché una siffatta collineazione, detta assiale, non interviene nel seguito del nostro corso, né trova facili applicazioni, crediamo inutile di svilupparne la teoria, e preferiamo dimostrare, sopra un esempio, come essa possa realmente presentarsi. Si immagini che lo spazio 2 (od una figura rigida in esso contenuta) ruoti di un certo diedro intorno ad una retta r, ed assuma, alla fine del movimento, la posizione ^'. È chiaro che fra i due spazi 2, 2' passa una collineazione (uguaglianza), in cui sono uniti tutti i punti della retta r e tutti i piani nor- mali ad r, i quali passano per una retta impropria r'ao. Questa collineazione è dunque assiale.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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— 7 — Segue che i punti impropr
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 15 — a') Ritornando alla figu
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 19 — ha dunque per corrispond
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 59 — la figura da un punto 8
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— 65 — (cc^y) senay senaó nel
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dove si è posto per brevità — 7
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— 79 — omologici e precisamente
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— 81 — In un gruppo armonico di
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— 83 - ^ = — • Ed operando or
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— 85 — notiamo che il punto med
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— 87 — grado (2'), le cui radic
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 91 — Capitolo II. Proiettivit
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— 93 — doppio rapporto dei quat
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- 95 - corrispondono due elementi,
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— 97 — ad es., Xo
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— 105 — e quindi, prendendo le
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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— 109 — E importante notare che
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 113 — liari {8 ed 8\ oppure s
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 119 — della proiettivita ABC
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 131 — 81. Equazione deiriiivo
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 143 — delle due direzioni ass
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 157 — Parte Seconda. Geometri
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 163 — la quale esprime che i
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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— 195 — torno chiuso curvilineo
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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— 207 — Come le coordinate omog
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 213 — di numeri, e le ^ rette
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— 215 — UN. La ipotesi è dunqu
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— 217 — H punto Z ha le coordin
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— 225 — Esercizi, — 1) Assunt
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 235 — trica a cui obbedisce u
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— 239 — nazione di A:; e la ope
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— 241 — quando siano assegnate
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— 243 — punti dovrà tendere a
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% — 245 — continuità, si consi
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— 247 — un cerchio, il cui cent
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— 251 — • Il lettore verifich
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— 257 — nati potrebbero riguard
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— 259 — superiori o inferiori.
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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— 267 — retta x sopra cui quest
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— 269 — \si OA perpendicolare a
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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I — 277 — 7t^ n\ proiettando i
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 281 — lora A', B', C, D' sono
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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— 289 — * Osservazione II. —
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— 291 — lasciano vedere che, pe
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— 293 — finito dei due piani si
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— 295 — se vi è un terzo punto
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l — 299 — Se poi di una retta a
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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l — 305 — trova che le coordina
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 329 — 3) Introdotta sul princ
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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— 335 — nel campo proiettivo ;
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 389 — 7) Determinata una coni
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— 391 — Im- sicché ± Vx^ -\-
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— 393 — è tangente a K) i}). (
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— 395 — dove À, fi. V sono par
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— 397 — Partendo dall' equazion
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— 399 — La costruzione degli as
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 405 — 7) Dati in grandezza e
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 425 — nelle quali le incognit
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 455 — Al contrario, le propri
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— 457 — il piano di K' intorno
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 472 — sistema di coordinate p
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— 480 — blema mostreremo tra po
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 488 — angoli particolari che
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
Page 531 and 532:
— 513 — allora, od esiste un si
Page 533 and 534:
— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538:
— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546:
— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550:
— 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552:
— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556: — 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558: — 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560: — 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562: ^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570: — 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586: — 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588: — 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590: X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594: — ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596: — 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598: — 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600: — 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602: -^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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