Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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goli collo stesso vertice sono iscritti in un cono del secondo ordine, e cir-
coscritti ad un altro » (Steiner).
20) Le terne di punti A, B, C di una quadrica, che sono viste da un
punto fisso della superficie mediante terne di rette mutuamente perpen-
dicolari, stanno in piani ABC passanti per un unico punto, situato sulla
normale alla quadrica (cioè al piano tangente) in 0. (Cfr. n.° 222, es. 13) ).
(Per la dimostrazione analitica, giova assumere come origine, e la normale
come uno degli assi. Per la dimostrazione sintetica, si faccia ruotare
il triedro OABC intorno allo spigolo OA, e si osservi che, in corrispon-
denza, il piano ABC descrive un fas^cio, il cui asse A A' sega la detta nor-
male, ecc.).
Ili — 21) La polarità (sferica) determinata da una sfera i3 (ad es.
dalla sfera x'^ -{- y'^ -\- z'^ — 1 = 0) ha notevoli particolarità metriche. Il
piano polare di un punto qualsiasi è normale alla retta congiungente quel
punto col centro della sfera ; il diedro di due piani è uguale all'angolo,
sotto cui da sono visti i rispettivi poli; due rette mutuamente polari
sono ortogonali ;
(cfr. n." 215, es. 17)).
in un tetraedro autopolare le altezze si segano nel punto
22) Se un punto P descrive una conica K, il piano polare ^', rispetto
alla sfera Q, inviluppa un cono ; questo cono, ed il cono proiettante K da 0,
sono supplementari^ tali cioè che ogni generatrice dell' uno è normale ad
un piano tangente all'altro. Segue che, se uno dei due coni è rotondo, sarà
rotondo anche 1" altro, intorno ad un asse parallelo all'asse del primo.
23) Se un punto descrive una quadrica Q, il piano polare rispetto ad
Q inviluppa una seconda quadrica Q' {polare di Q), i cui punti hanno come
polari i piani tangenti a Q. In particolare « se Q è una sfera di centro C,
la quadrica polare Q' è rotonda intorno all'asse OC, ed è generata pre-
cisamente da una conica, avente in un fuoco, la quale ruoti intorno al
suo asse focale OC ». Il punto dicesi fuoco per la quadrica rotonda, ed
il piano polare di rispetto ad essa (che è pure piano polare di C rispetto
ad i2) dicesi piano direttore, e contiene una direttrice di ciascuna conica
meridiana. Il cono circoscritto dal fuoco alla quadrica rotonda Q' si
compone delle direzioni assolute uscenti da 0. La quadrica Q' ha poi un
secondo fuoco ed un secondo piano direttore, provenienti dall' altro fuoco
e dall' altra dii-ettrice della conica meridiana. Viceversa, ogni quadrica Q',
rotonda intorno all'asse focale della conica meridiana, è trasformata in una
sfera dalla polarità rispetto ad una sfera i2, che abbia il centro in un
fuoco di (^'. Questi risultati si confermano analiticamente, ricordando che
r equazione di una quadrica rotonda, la cui conica meridiana abbia un
fuoco in e l'asse focale 2, è del tipo x'^ -{- y^ -\- z'^ ^= (az -\- b)^. In
generale, 1' equazione di una quadrica rotonda, avente un fuoco nell'origine,
può scriversi sotto la forma
x^ + y^ + z-^ = (ax + i3y + yz + (5)2;
qual' è il piano direttore ? quale
di questa equazione ? (cfr. n.° 257).
1' asse ? quale l' interpretazione geometrica