Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 518 — che entrano nella relazione scritta; ora quella sussiste (n.° 111, e)) se A cade su x, perchè allora la figura è contenuta nel piano xr, quindi sussiste in ogni caso (^). 296. Proiezione di un'area. — Se per i punti A, B,... dello spazio si conducono rette parallele ad una retta assegnata r, e si determinano le intersezioni di queste con un piano fìsso tv, non parallelo ad r, i punti J.', B', . . ., che cosi si ottengono, diconsi proiezioni dì A, B, . . . su n secondo la direzione r; o, brevemente, proiezioni ortogonali su tt, se r è normale a ti. I punti di un' area situata in un piano q si proiettano nei punti di un'area di tt, area proiezione. Ora, nel caso di proie- situata zioni ortogonali, vale il teorema: La proiezione ortogonale di un'' area ., in un piano., sopra un secondo piano., è uguale aW area obiettiva moltiplicata per il coseno del diedro dei due piani. Infatti la proiezione ortogonale dei punti di (> su tt stabilisce tra i due piani un'affinità (prospettiva; n.* 176, 173); passa dunque un rapporto costante tra le aree di (> e le loro proiezioni su ti (n." 173). Per valutare quel rapporto, consideriamo, ad es., su q un quadrato ABCD, il cui lato AB, di valore 1, stia sulla retta intersezione dei due piani ti, q. La proiezione ortogonale del quadrato su TT è un rettangolo AB CD', che ha un lato AB = 1, ed il lato perpendicolare AD' uguale alla proiezione ortogonale di AD, cioè AD' — AD cosDAD' = costt^). Dunque il rapporto cercato è AB CD __ 1 ABC'D' come si doveva dimostrare. COS TIQ (}) I risultati di questo n.° possono enunciarsi col linguaggio della teoria dei vettori, estendendo allo spazio l'Osg. che segue il n." 111. j
— 519 — 297. Distanza dì due punti. — Riprendiamo i tre assi car- tesiani X, y, z, che supporremo ortogonali^ cioè perpendicolari a due a due, ogniqualvolta dovremo stabilire relazioni metri- che; ciò per evitare inutili complicazioni. Siano P(j7, y, z), P'( x', y', z') due punti appartenenti ad una retta r, su cui sia fissato arbitrariamente il verso posi- tivo. Consideriamo il segmento PP' = d (in valore e segno), e le sue componenti secondo gli assi, che valgono Y ^ y' - y, Z — z' — z. Con tre segmenti equipollenti a queste possiamo formare, come si disse, una spezzata trilatera PQRP\ di cui il segmento PP' congiunge gli estremi. Proiettiamo ora una prima /^ volta il segmento PP'^ una seconda volta la spezzata PQBP', sopra una retta qualunque s dello spazio, ed uguagliamo le proiezioni ; si ha cosi : (1) d cosr.9 1=: X cosa; 5 -j- Y cos ys -\- Z cos zs. Facendo coincidere s successivamente cogli assi x, y, z (e ricor- dando che, per ipotesi, xy =z xz = yì = -|-), abbiamo (2) d cosxr = X, d cosyr = F, d cos zr = Z] finalmente, facendo coincidere s con r, (3) d = X cosxr -j- Y cosyr -|- Z cos zr. Per approfittare di queste formole, moltiplichiamo anzitutto la (3) per d, e sostituiamo nel secondo membro al posto di d cosxr, . . . i valori dati dalle (2). Avremo: ossia 6^2 :3= x2 -f r^ + z^, (4) d-^ =. (x' - xy' + 0/' - yr + (z' - zy. Il quadrato della distanza fra due punti è uguale alla somma dei quadrati delle differenze tra le coordinate omonime dei punti stessi (cfr. n.° 212). "
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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— 7 — Segue che i punti impropr
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 15 — a') Ritornando alla figu
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— 39 — 2) che ogni elemento del
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— 41 — '23, 34 . . . tutti ugua
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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— 79 — omologici e precisamente
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 125 — Se nella proiettività
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 157 — Parte Seconda. Geometri
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 163 — la quale esprime che i
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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— 207 — Come le coordinate omog
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 215 — UN. La ipotesi è dunqu
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— 217 — H punto Z ha le coordin
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— 223 — cati per convenienti fa
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 235 — trica a cui obbedisce u
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— 239 — nazione di A:; e la ope
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% — 245 — continuità, si consi
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— 259 — superiori o inferiori.
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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— 269 — \si OA perpendicolare a
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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I — 277 — 7t^ n\ proiettando i
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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l — 305 — trova che le coordina
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 329 — 3) Introdotta sul princ
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 389 — 7) Determinata una coni
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— 391 — Im- sicché ± Vx^ -\-
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— 395 — dove À, fi. V sono par
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— 399 — La costruzione degli as
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— 401 — La prima proposizione s
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 405 — 7) Dati in grandezza e
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 455 — Al contrario, le propri
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— 457 — il piano di K' intorno
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- 470 — dove si suppone precisame
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Page 545 and 546: — 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548: — 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550: — 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552: — 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554: — 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556: — 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558: — 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560: — 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562: ^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570: — 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586: — 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588:
— 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590:
X — a
Page 591 and 592:
— 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594:
— ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596:
— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598:
— 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600:
— 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602:
-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604:
— 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606:
— 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608:
— 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610:
— 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612:
ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614:
— 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616:
— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618:
— 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620:
— 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622:
— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624:
— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628:
— 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630:
— 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632:
— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636:
— 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638:
— 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640:
— 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642:
— 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644:
— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650:
— 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652:
— 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654:
— 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656:
— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660:
— 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662:
— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670:
— 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672:
— 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674:
— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676:
— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682:
k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684:
— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688:
— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692:
— 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694:
— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698:
— 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700:
— 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702:
questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704:
— 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706:
— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708:
— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714:
— 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716:
— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722:
— 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724:
— 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726:
— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732:
— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
Page 735 and 736:
— 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738:
— 719 — si trovano distribuiti
Page 739 and 740:
— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747:
(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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