Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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d' = zZ, mediante la quale il triedro x^y^z assume la posizione Xip^Z
(ciò è possibile perchè z e Z sono ambedue perpendicolari ad a;,); final-
mente una rotazione intorno a Z dell'angolo tp = x^X, mediante la quale
l'ultimo triedro viene a coincidere con XYZ (ciò è possibile perchè x^
ed X sono perpendicolari a Z). Indicando con ix,y,z) (ccj, t/,, z), (x^, j/g, Z),
{X, Y, Z) le coordinate di uno stesso punto riferito successivamente alle
teme di assi nominati, valgono le formole (es. 1))
X = xi cos(p - tji sencp, y = x^ senqo + y^ cosrp,
Vi — 2/2 cosi* — Z seni*, z = y^ seni* + Z cos-tì-,
xi = X cosV — Y sernp, y2 = X semp -f Y cos^.'
Eliminando a^j, y^, y^ tra queste, si ottengono infine le formole seguenti,
dovute ad Eulero :
x = X (cos cpcosrp — sen (p sen ^U cos d) — Y (cos y sen V + sen cp cos ^p sen i*)
-(- Z sen qp sen i*
y — X (sen (jp cos ^ + cos cp sen ^ cos d) — Y (sen gp sen V — cos ?> cos V cosi*)
— Z cos qo sen ^
2 = X sen V sen 1* 4- Y cos t/< sen-^ -f- Z cos i*.
Queste formole hanno il vantaggio di contenere esattamente il numero dei
parametri indipendenti {tre: gp, i* e V, detti angoli di Eulero), da cui dipende
la posizione del nuovo triedro rispetto all'antico.
6) Siano xyz, XYZ due terne congruenti di assi ortogonali, e sia P
un punto qualsiasi avente nei due sistemi le coordinate ix,y,z), (X Y Z)un
movimento, che porti il primo triedro a coincidere col secondo, porta il
punto P in un nuovo punto P' avente, rispetto ai nuovi assi, le coordi-
dinate {x, y, z). Segue che le formole per la trasformazione delle coordi-
nate ortogonali,
x = «1 X + ag Y + ag Z + a, ecc.,
quando il determinante A = [«i/^o/gT vale + 1, possono intei-pretarsi come
relazioni fra la posizione iniziale P(X, Y, Z) e la posizione finale P'(x, t/, z)
di uno stesso punto, riferito ad un unico sistema di assi X YZ. Le formole
stesse definiscono dunque un movimento nello spazio, in quanto si tien
conto solo della posizione iniziale e finale, facendo astrazione dalle posi-
zioni intermedie. In pari:icolare, le formole a), 6), e) dell' es. 1) definiscono
ordinatamente una traslazione parallela all'asse Z, una rotazione, o un movimento
elicoidale intorno a questo asse; le formole (1) del n." 308 defini-
scono una traslazione rappresentata dal vettore, che ha le componenti
(a, ò, e); le formole (2) del n.° 308 definiscono una rotazione intorno al
punto fisso 0, ecc.
7) Se a; 2/^, X YZ sono due triedri trirettangoli congruenti colla stessa
origine 0, i piani condotti per le bisettrici interne degli angoli ocX, y'Y, zZ,
perpendicolarmente ai piani dei rispettivi angoli, passano per una stessa
retta r, tale che rx = rX, ry = rY, 'rz = rZ. Facendo ruotare intorno
ad r, di un angolo conveniente, il primo triedro, esso viene a sovrapporsi
al secondo. Di qua, tenuto conto dell' es. precedente, si conclude che « la
rotazione di un corpo intorno ad un punto può sempre esser sostituita