Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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uniti, ed i cui spigoli sono le sei rette unite della collineazione.
I quattro punti, ed insieme i quattro piani, possono esser tutti
reali, o due reali e due immaginari, o tutti immaginari. Ma può,
in casi particolari, accadere che due, o tre, o quattro punti (e
quindi piani) uniti vengano a coincidere, o che due punti (o
piani) coincidano in un punto (piano), e due in un altro punto
(piano) ; ciò, quando l'equazione (3) ha una radice doppia,
tripla, quadrupla, o due radici doppie.
Particolarmente notevoli sono i casi, in cui la equazione (3)
ammette una radice, sia Qi, che annulli, non solo il determi-
nante (3), ma pure tutti i minori del terzo ordine, od anche
tutti i minori del secondo ordine, radice che, nel primo caso, si
riconosce esser doppia, ^i = q.,, e nel secondo caso tripla,
Qj r= Q., = ^3. Sostituendo nelle (2), al posto di q, quella ra-
dice ^,. delle quattro equazioni (2), due o, rispettivamente, tre
diventano conseguenza delle rimanenti; ogni punto, soddisfa-
cente colle sue coordinate queste ultime equazioni, soddisfa il
sistema (2), ed è quindi unito. Nel primo caso dunque la col-
lineazione ha, come uniti, tutti i punti di una retta, e (per la
analogia che collega la ricerca analitica dei punti e piani uniti)
tutti i piani passanti per una seconda retta ; una tale collineazione
dicesi assiale. Nel secondo caso la collineazione ha, come
uniti, tutti i punti (e le rette) di un piano, e tutti i piani (e
le rette) di una stella, e dicesi omologia solida.
A dimostrar la esistenza di questi due casi di collineazione,
vale anche il ragionamento sintetico seguente.
385. Omologia solida. — Collo stesso ragionamento ado-
perato in geometria piana (n.° 177), si dimostra che, se una col-
lineazione tra due spazi ha cinque punti uniti, di cui mai quattro
appartengano ad un piano, ogni altro punto è unito, e la col-
lineazione è la identità. Esclusa la i udenti tà dalle nostre con-
siderazioni, la presenza di cinque o più punti uniti è possibile
soltanto, quando quattro almeno di questi punti stiano in un
piano. Ma qui si possono fare due ipotesi:
a) o i quattro punti uniti, situati in un piano, sono tali
che mai tre di ossi siano allineati, ed allora ogni punto del
piano è unito (n.° 177);