Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 404 — dove (a^o, y^) sono le coordinate del centro, e A: = Atj, fca è una radice della (4). Sostituendo nella (4), al posto di k, la fra- zione, e mandando via i denominatori, otteniamo l'equazione complessiva degli assi: a,2(x — Xo)2 — («n — «^22)(a? — a^oX?/— 2/o) — «12(2/ — 2/o)^ = 0. 238. Caso particolare del cerchio. — Va considerata a parte la ipotesi che siano nulli coefficienti e termine noto della (4), che sia dunque (l\\ fl^22) OjIì U5 allora la (4) è soddisfatta da ogni valore di k. Ed ogni diametro della conica è un asse. D'altronde la curva in tal caso è un cerchio, giacché le condizioni scritte sono precisamente quelle che distinguono il cerchio dalle altre coniche (n." 143). Concludiamo che jper il cerchio {e per questa sola conica) ogni diametro è asse, è dunque perpendicolare al diametro coniugato; la involuzione dei diametri coniugati è circolare; e gli asintoti di un cerchio (rette doppie di tale involuzione, n."* 234) sono le direzioni assolute uscenti dal centro (n.° 89). Ritroviamo cosi il risultato già noto: tutti i cerchi segano la retta alV infinito nei punti ciclici del piano (n.° 155). E vediamo inoltre, ad es., che due cerchi concentrici hanno gli stessi asintoti, cioè si toccano nei punti ciclici. Esercizi I — 1) Determinare le coordinate del centro, e le equazioni staccate degli asintoti e degli assi per le coniche (in coordinate ortogonali) 2a;2 + 4:xy -^ òy^ — 6x — 3 = 0, x^ — Axy — 2i/2 -|- 3a; — 3?/ + 5 =0. 2) Determinare l' equazione dell' asse e le coordinate del vertice della parabola (in coordinate ortogonali) 4a;2 -\- 4,xy + 2/^ — 2a; — 4«/ = 0. 3) Costruire il centro, la involuzione dei diametri coniugati, gli asintoti e gli assi di una conica data mediante cinque punti 4ì?C'DjB; (si costruiscano ad es. le corde DF, DG parallele alle corde AB, AC, ecc.; cfr. n." 281, es. 6)). 4) Lo stesso problema, quando la conica è definita mediante cinque delle sue tangenti. (Si costruiscano due parallelogrammi circoscritti alla curva, n.° 235). 5) Nelle coniche degli es. 3), 4) si cerchi una coppia di diametri formanti un angolo assegnato. 6) Costruire V asse e il vertice di una parabola determinata da quattro tangenti, o da tre punti propri e dal punto improprio. I
— 405 — 7) Dati in grandezza e posizione due diametri coniugati di una conica a centro, costruire gli asintoti e gli assi (n.° 235). 8) Le rette che proiettano dagli estremi A, A' di un diametro tras- verso di una conica a centro, un punto variabile lungo la curva, segano sopra il diametro coniugato BB' una involuzione, che ha per centro il centro della curva, e per punti doppi (nella ellisse), o punti coniugati (nella iperbole) gli estremi di questo diametro. Ed una tangente variabile alla curva sega sopra le due tangenti in A, A' una coppia di punti proiettati dal centro mediante due diametri coniugati della curva (n.° 210). 9) L'esercizio precedente permette di costruire per punti e tangenti una conica a centro, di cui siano noti in grandezza e direzione due diametri coniugati. (Infatti ogni coppia MM' della involuzione nominata sul diametro BB' fornisce due punti della curva, le cui tangenti sono le diagonali del parallelogramma formato dalle parallele a BB' condotte per A, A', e dalle parallele ad A A' condotte per M, M'). 10) Costruire una conica di cui siano dati il centro, le direzioni di due diametri coniugati, ed inoltre due punti o due tangenti (cfr. n." 231, es. 4); oppure si determinino le lunghezze dei due diametri, cercando una coppia di punti coniugati su ciascuno di essi ; poi es. 9 ) ). 11) Costruire una conica conoscendone in posizione due coppie di diametri coniugati ed un punto; (del diametro che passa per il punto si determini ad es. il coniugato in posizione e grandezza; poi es. 9)). 12) In un triangolo iscritto in una conica, dì cui ciascun lato sia parallelo alla tangente nel vertice opposto, il baricentro coincide col centro della curva ; e viceversa. Segue l' esistenza di infiniti triangoli siffatti nella ellisse, potendosi un vertice assumere ad arbitrio sulla curva, con che il triangolo è determinato ; invece ogni triangolo di tal natura è parzialmente immaginario nella iperbole, o degenere nella parabola. IL — 13) Il luogo dei centri delle coniche di una schiera è una retta, la quale biseca le tre diagonali del quadrilatero base, e passa per il punto all'infinito dell'unica parabola appartenente alla schiera (Newton) (cfr. n.° 231, es. 41)). Segue che i punti medi delle tre diagonali suddette appartengono ad una retta, mediana del quadrilatero ( cfr. n.° 89, es. 10) ), e che le cinque mediane relative ai quadrilateri determinati da cinque rette, prese a quattro a quattro, concorrono in un punto. Si ha qui un nuovo modo per costruire il centro di una conica determinata da cinque tangenti. 14) Il luogo dei centri delle coniche di un fascio è una conica (detta dei nove punti) (cfr. n.° 231, es. 42)), la quale passa per i punti diagonali del quadrangolo base e per i punti medi dei sei lati del detto quadrangolo ; i punti all' infinito di questa conica sono i centri delle due parabole appar- tenenti al fascio, ed il suo centro cade nel baricentro del quadrangolo base (Pfaff). 15) Cercando la condizione perchè la conica dei nove punti sia un cerchio non degenere, si vede che il fascio deve comporsi di iperboli equilatere. Dunque : « il luogo dei centri delle iperboli equilatere di un fascio è un cerchio » (BrianChox e Poncèlet). Se i punti base del fascio sono reali.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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stesso piano n. Fra le altre rette
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 488 — angoli particolari che
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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