Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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7) Dati in grandezza e posizione due diametri coniugati di una conica
a centro, costruire gli asintoti e gli assi (n.° 235).
8) Le rette che proiettano dagli estremi A, A' di un diametro tras-
verso di una conica a centro, un punto variabile lungo la curva, segano
sopra il diametro coniugato BB' una involuzione, che ha per centro il
centro della curva, e per punti doppi (nella ellisse), o punti coniugati (nella
iperbole) gli estremi di questo diametro. Ed una tangente variabile alla
curva sega sopra le due tangenti in A, A' una coppia di punti proiettati
dal centro mediante due diametri coniugati della curva (n.° 210).
9) L'esercizio precedente permette di costruire per punti e tangenti
una conica a centro, di cui siano noti in grandezza e direzione due diametri
coniugati. (Infatti ogni coppia MM' della involuzione nominata sul dia-
metro BB' fornisce due punti della curva, le cui tangenti sono le diago-
nali del parallelogramma formato dalle parallele a BB' condotte per A, A',
e dalle parallele ad A A' condotte per M, M').
10) Costruire una conica di cui siano dati il centro, le direzioni di
due diametri coniugati, ed inoltre due punti o due tangenti (cfr. n." 231,
es. 4); oppure si determinino le lunghezze dei due diametri, cercando una
coppia di punti coniugati su ciascuno di essi ; poi es. 9 ) ).
11) Costruire una conica conoscendone in posizione due coppie di
diametri coniugati ed un punto; (del diametro che passa per il punto si
determini ad es. il coniugato in posizione e grandezza; poi es. 9)).
12) In un triangolo iscritto in una conica, dì cui ciascun lato sia
parallelo alla tangente nel vertice opposto, il baricentro coincide col centro
della curva ; e viceversa. Segue l' esistenza di infiniti triangoli siffatti nella
ellisse, potendosi un vertice assumere ad arbitrio sulla curva, con che il
triangolo è determinato ; invece ogni triangolo di tal natura è parzialmente
immaginario nella iperbole, o degenere nella parabola.
IL — 13) Il luogo dei centri delle coniche di una schiera è una retta,
la quale biseca le tre diagonali del quadrilatero base, e passa per il punto
all'infinito dell'unica parabola appartenente alla schiera (Newton) (cfr.
n.° 231, es. 41)). Segue che i punti medi delle tre diagonali suddette appar-
tengono ad una retta, mediana del quadrilatero ( cfr. n.° 89, es. 10) ), e che
le cinque mediane relative ai quadrilateri determinati da cinque rette, prese
a quattro a quattro, concorrono in un punto. Si ha qui un nuovo modo per
costruire il centro di una conica determinata da cinque tangenti.
14) Il luogo dei centri delle coniche di un fascio è una conica (detta
dei nove punti) (cfr. n.° 231, es. 42)), la quale passa per i punti diagonali
del quadrangolo base e per i punti medi dei sei lati del detto quadrangolo ;
i punti all' infinito di questa conica sono i centri delle due parabole appar-
tenenti al fascio, ed il suo centro cade nel baricentro del quadrangolo base
(Pfaff).
15) Cercando la condizione perchè la conica dei nove punti sia un
cerchio non degenere, si vede che il fascio deve comporsi di iperboli equi-
latere. Dunque : « il luogo dei centri delle iperboli equilatere di un fascio
è un cerchio » (BrianChox e Poncèlet). Se i punti base del fascio sono reali.