Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

2.2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 25
2.2.1 Eingeschränktes Zweikörperproblem
Abbildung 2.2: Bewegung um den gemeinsamen
Schwerpunkt
§ 72 Aber selbst bei Beschränkung auf zwei Körper müssen wir die Beschreibung genauer
hinter fragen. Betrachten wir dazu zwei Körper gleicher Masse m, die sich im Schwerefeld des
jeweils anderen Körpers bewegen. Dann ist es nicht möglich zu sagen, dass der eine Körper
ruht und der andere sich im Schwerefeld des ersten auf einer Kreisbahn um diesen bewegt.
Stattdessen bewegen sich beide Körper um den gemeinsamen Massenmittelpunkt.
§ 73 Da bei Planeten- und Satellitenbewegungen der eine Körper wesentlich massereicher
ist als der andere, liegt der gemeinsame Schwerpunkt sehr dicht an bzw. in der Regel im
massenreicheren Körper und die anschauliche Darstellung der Bewegung eines Körpers um
den anderen ist angemessen.
§ 74 Betrachten wir dazu zwei Massen m1 und m2 an den Orten �r1 und �r2. Ihr Massenmittelpunkt
befindet sich am Ort �rMM, d.h. da kein Drehmoment wirkt muss gelten
m1(�r1 − �rMM) + m2(�r2 − �rMM) = 0. Mit �r = �r1 − �r2 als dem die beiden Massen verbindenden
Vektor ergibt sich für die Abstände der Massen vom gemeinsamen Schwerpunkt
�r1 − �rMM =
m2
m1 + m2
�r und �r2 − �rMM = − m1
m1 + m2
Zwischenrechnung 2 Schätzen Sie mit Hilfe der Größen in Abschn. 8.2 ab, wo der Massenmittelpunkt
in den Systemen Sonne–Erde, Erde–Mond, Erde–MeteoSat und Erde–EnviSat
liegt.
§ 75 Mit � F1 als der von m2 auf m1 ausgeübten Kraft und entsprechend � F2 als der auf m2
wirkenden Kraft ergibt sich
�F1 = m1¨r1 = m1 ¨ �rMM + m1 m2
m1 + m2
�r .
¨�r und � F2 = m2¨r2 = m2 ¨ �rMM − m1 m2
m1 + m2
¨�r . (2.3)
Da die Kräfte entgegen gesetzt gleich sind, � F1 = − � F2, ergibt sich daraus m1 ¨ �rMM = −m2 ¨ �rMM
und damit für allgemeine Massen
¨�rMM = 0 ,
d.h. der Massenmittelpunkt des Zweikörpersystems wird nicht beschleunigt sondern befindet
sich im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung.
§ 76 Damit reduziert sich (2.3) auf
�F1 = − � F2 = m2¨r2 = m1 m2
m1 + m2
Einsetzen der Gravitationskraft (2.1) liefert
¨�r . (2.4)
¨�r = − γ(m1 + m2)
r3 �r = − µ
r2 �er . (2.5)
Formal ist diese Bewegungsgleichung äquivalent zu der sich bei Verwendung der Gravitationskraft
(2.1) ergebenden, allerdings wird die Masse des Zentralkörpers ersetzt durch die
c○ M.-B. Kallenrode 2. Juli 2008