Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

6.4. KANALCODIERUNG 317
�s �t �s �t �s �t �s �t
0000 0000000 0100 0100110 1000 1000101 1100 1100011
0001 0001011 0101 0101101 1001 1001110 1101 1101000
0010 0010111 0110 0110001 1010 1010010 1110 1110100
0011 0011100 0111 0111010 1011 1011001 1111 1111111
Tabelle 6.7: Hamming(7,4) Code; �s ist das Signal der Quelle, �t der zugehörige zu transmittierende
Code
Abbildung 6.22: Graphische
Darstellung für die Codierung
eines Hamming(7,4) Codes
§ 1057 Für große Blocklängen n lässt sich die Redundanz [185] näherungsweise in der Form
r = m
n
≥ b
� �
t
.
n
angeben, mit b als der Shannon-Funktion (6.2).
Verständnisfrage 44 Begründen Sie obigen Ausdruck.
6.4.6 Kanalcodierung: Hamming(7,4) Codierung
§ 1058 Die Hamming Codierung in § 1050 ist extrem ineffizient, da wir ein 1 Bit Codewort
durch Hinzufügen von 3 Bits verlängert haben. Damit hat sich die Zahl der zu übertragenden
Bits vervierfacht. Wir können das Prinzip jedoch auch auf längere Ausgangsblöcke anwenden.
Ein realistischeres Beispiel ist der Hamming(7,4)-Code in Tabelle 6.7. Auch hier werden jedem
Codewort der Quelle drei Bit hinzugefügt; da jedoch das Codewort der Quelle bereits aus 4
Bit besteht, ist das Gesamtsignal nicht einmal doppelt so lang. Dennoch unterscheidet sich
jedes neue Codewort von jedem anderen um mindestens 3 Bit.
Codierung
§ 1059 Ein graphisches Verfahren zur in Tabelle 6.7 explizit gegebenen Codierung ist in
Abb. 6.22 gegeben: die sieben zu transmittierenden bits werden so in drei sich schneidende
Kreisen angeordnet, dass die von der Quelle gelieferten und in �s enthaltenen Bits in den
Schnitten liegen. Diese Bits entsprechen den ersten vier zu transmittierenden Bits ti mit
i = 1, ..., 4. Die verbliebenen Paritätsbits t5 bis t7 werden so gesetzt, dass die Parität innerhalb
jedes Kreises gerade ist. Damit bestimmt t5 die Parität der ersten drei Bits der Quelle, t6 die
der letzten drei und t7 die der Quellbits eins, drei und vier.
§ 1060 Da der Hamming Code ein linearer Code ist, kann er mit Hilfe von Matrizen in
wesentlich kompakterer (und leichter zu verwendender) Form geschrieben werden als in Tabelle
6.7. Das zu übertragende Codewort �t ergibt sich aus dem aus der Quelle entnommenen
Codewort �s mit Hilfe der Generator-Matrix G zu
�t = G T �s .
c○ M.-B. Kallenrode 2. Juli 2008