Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

2.2. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN 27
Flächensatz
§ 81 Aus der Gleichung der Bahnebene (2.9) lässt sich der Flächensatz durch Übergang auf
Polarkoordinaten herleiten. Fällt in kartesischen Koordinaten die Bahnebene in die z = 0-
Ebene, so ist �σc = (0, 0, σc) und das Momentintegral (2.8) reduziert sich auf x ˙y − y ˙x = 0.
Einsetzen von (x, y) = r(cos ϕ, sin ϕ) liefert den Flächensatz r 2 ˙ϕ = σc = const. Mit dem
Flächenelement dA = 1
2 r2 dϕ erhalten wir
A = σc
2 (t2 − t1) , (2.10)
d.h. der Ortsvektor überstreicht in gleichen Zeitintervallen t2 − t1 gleiche Flächen A.
Laplace-Integral
§ 82 Vektorielle Multiplikation der Bewegungsgleichung (2.5) mit dem Momentintegral (2.8)
liefert
�σc × ¨ �r = − µ
µ
(�r × �v) × �r = − [�v (�r · �r) − �r · (�r �v)] .
r3 r3 Mit �r · �r = r2 und �r · �v + �v · �r = 2vr ergibt sich �r · �v = rv und damit
�σc × ¨ �r = − µ
r3 (r2 r�v − v�r
�v − rv�r) = −µ
r2 = −µ d
� �
�r
dt r
bzw.
d
dt (�σc × �r) − µ d
dt
� �
�r
= 0 .
r
Integration liefert das Laplace-Integral
�σc + �v + µ �r
r = � λc
mit � λc als Integrationskonstante.
(2.11)
§ 83 Skalare Multiplikation von (2.11) mit �σc liefert �σc · � λc = 0, d.h. der Laplace-Vektor � λc
liegt in der Bahnebene.
§ 84 Da die Bewegungsgleichung als vektorielle DGL 2 ter Ordnung sechs Integrationskonstanten
benötigt, wir aber mit den bisher bestimmten hc, �σc und � λc sieben haben, können
letztere nicht linear unabhängig sein. Die Beziehung zwischen ihnen lässt sich durch Quadrieren
des Laplace-Integral bestimmen zu
λ 2 c = µ 2 + hcσ 2 c . (2.12)
Bahngleichung
§ 85 Die Bahngleichung lässt sich durch skalare Multiplikation des Laplace-Integrals (2.11)
mit �r bestimmen:
�r · �r
�r · (�σc × �v) + µ
r = −�λc · �r . (2.13)
Anwendung des Momentintegrals (2.8) und zyklisches Vertauschen der Vektoren im Spatprodukt
liefert −σ2 c + µr = −λcr cos τ mit τ als dem Winkel zwischen dem Ortsvektor �r und
dem Laplace-Vektor �λc. Auflösen nach r gibt die Gleichung der Satellitenbahn
p
r =
(2.14)
1 + ε cos τ
mit dem Bahnparameter p und der Exzentrizität ε gemäß
p = σ2 c
µ > 0 und ε = λc
µ > 0 . (2.15)
c○ M.-B. Kallenrode 2. Juli 2008