Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

58 KAPITEL 2. SATELLITENBAHNEN
Tabelle 2.5: Äußerer Wirkungsgrad einer
Rakete
Geschwindigkeits- Massen- Wirkungsverhältnis
verhältnis grad
vB/v0 m0/mB ηA
0.001 1.001 0.001
0.01 1.010 0.010
0.1 1.105 0.095
0.5 1.65 0.385
1. 2.72 0.582
1.594 4.93 0.647
2. 7.4 0.625
3. 20.1 0.524
4. 55. 0.299
5. 149. 0.169
6. 403. 0.089
8. 3000 0.021
10. 22 000 0.0045
57. 6 · 10 24
0.5 · 10 −21
Ist v0 während der gesamten Brenndauer tB konstant, so lässt sich (2.25) einfach integrieren
und wir erhalten als Raketenformel
∆v = v0 ln m0
mB
(2.27)
mit m0 als der Gesamtmasse der Rakete zum Zeitpunkt t = 0 und mB als der Raketenmasse
bei Brennschluss. ∆v ist der Geschwindigkeitszuwachs der Rakete bzw. bei Beschleunigung
aus der Ruhe die Geschwindigkeit am Ende der Beschleunigungsphase.
Verständnisfrage 12 Beim Übergang zu (2.25) wurde das Glied dm dv vernachlässigt. Ist
(2.26) damit identisch zu (2.24) ohne Reibung und Gravitationskraft oder nicht? Und was
bedeutet diese Vereinfachung physikalisch, was mathematisch? Vergleichen Sie mit der im
ersten Semester bei der startenden Rakete verwendeten Gleichung.
§ 184 Der Geschwindigkeitszuwachs ∆v kann formal nahezu beliebig gesteigert werden,
wenn das Verhältnis m0/mB groß genug wird. Allerdings ist dies zum einen aus technischen
Gründen (den Treibstoff umschließende Struktur) nicht einfach, zum anderen wird der
Wirkungsgrad für große Massenverhältnisse sehr klein, vgl. Tabelle 2.5.
§ 185 Als Wirkungsgrad einer Rakete wird das Verhältnis ihrer kinetischen Energie bei
Brennschluss zur insgesamt im Treibstoff enthaltenen Energie definiert:
η = Ekin,B
=
Ekin,∞
mBv2 B
mTv2 ∞
(2.28)
mit v∞ als der Geschwindigkeit, die die ausströmenden Treibgase haben würden, wenn ihr
gesamter Wärmeinhalt in die kinetische Energie des ausgestoßenen Gases verwandelt wäre.
Würde man eine derartige ideale Rakete auf dem Prüfstand abbrennen, so würde keine Energie
an die fest verankerte Rakete übertragen sondern alle Energie in die Ausströmgase gehen.
§ 186 Bei der realen Rakete ist die Ausströmgeschwindigkeit v0 geringer als v∞, so dass die
kinetische Energie der Ausströmgase gegeben ist als Ekin,T = mTv 2 0/2. Der Wirkungsgrad
(2.28) wird daher aufgespalten gemäß
η = ηIηA mit ηI = v2 0
v 2 ∞
und ηA = mBv 2 B
mTv 2 ∞
als dem inneren und äußeren Wirkungsgrad. Der innere Wirkungsgrad gibt ein Maß dafür,
welcher Teil der in den heißen Brennkammergasen enthaltenen Energie in gerichtete kinetische
Energie der austretenden Gase umgewandelt wird. Er liegt zwischen 0.36 und 0.64 [68].
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode