Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

38 KAPITEL 2. SATELLITENBAHNEN
und damit Epot = 2Ekin.
§ 122 Für die Reibungskraft machen wir einen Newton’schen Ansatz, d.h. die Reibungskraft
ist proportional der Geschwindigkeit: FReib = −Dv. Die Proportionalitätskonstante D
berücksichtigt:
• die Querschnittsfläche A des Satelliten: je größer A, um so mehr Teilchen können Impuls
auf den Satelliten übertragen;
• die Dichte ϱ der Atmosphäre: je größer ϱ, um so mehr Teilchen können Impuls auf den
Satelliten übertragen;
• die Geschwindigkeit v des Satelliten als ein Maß für die Größe des Impulsübertrags pro
Stoß; und den
• Widerstandsbeiwert cD, der die Form des Satelliten und damit die Effizienz des Impulsübertrags
berücksichtigt. 11
Mit Av als dem Volumen, das pro Zeiteinheit vom Satelliten durchquert wird ist Avϱ die Luftmasse,
die den Satelliten pro Zeiteinheit trifft. Diese überträgt pro Zeiteinheit einen Impuls
(Avϱ)v. Berücksichtigt man den Widerstandsbeiwert cD, so ergibt sich für die verzögernde
Kraft
FReib = − 1
2 cDϱAv 2 . (2.19)
Der Widerstandsbeiwert beträgt ca. 2 für inelastische und ca. 4 für elastische Stöße [26].
Verständnisfrage 2 Warum ist die Geschwindigkeit des Satelliten maßgeblich, warum nicht
die Geschwindigkeit der Luftmoleküle? Welche der beiden Geschwindigkeiten ist größer? Oder
müsste nicht eigentlich die Relativgeschwindigkeit zwischen Satellit und Luftmolekülen verwendet
werden?
§ 123 Multiplikation von (2.19) mit v und Umschreiben der linken Seite ergibt für die
Änderung der kinetischen Energie mit der Zeit
˙Ekin = d
�
mSv
dt
2 �
3 ϱAcDv
= − .
2
2
Die Rate der Änderung der Flughöhe eines Satelliten lässt sich aus der Rate der Änderung
der kinetischen Energie abschätzen:
d
dt Ekin = d
dr Ekin
dr
dt
bzw. nach Auflösen und Einsetzen von (2.19)
− dr
dt
= ϱvAcDr
mS
. (2.20)
Zwischenrechnung 3 Für Numerik fans: verwenden Sie (2.20) mit ϱ(r) und v(r) und bestimmen
Sie r(t) für Sputnik 1 (Durchmesser 58 cm, Flughöhe aus 96 min Umlaufzeit und
Annahme einer Kreisbahn bestimmen, Masse 84 kg), EnviSat (Querschnittsfläche als Quadrat
mit 5 m Seitenlänge, Masse von 8.2 t, 790 km Flughöhe) sowie einen Tiefflieger wie
SMM (4 m Durchmesser, 510 km Ausgangsflughöhe und 2.3 t Masse).
§ 124 Da sich Umlaufzeiten oder -frequenzen genauer bestimmen lassen als Flughöhen, ist
es sinnvoller, die Änderung der Umlaufzeit T = 2πr/v zu betrachten. Unter Berücksichtigung
von (2.18) ergibt sich für die Abhängigkeit der Umlaufzeit von der potentiellen Energie T 2 =
4π 2 r 3 /(γME) und damit nach Ableiten für die zeitliche Änderung der Umlaufzeit
2T dT
dt = 4π2 3r 2
γME
dr
dt
⇒
dT
dt
= −3πACDr ϱ . (2.21)
mS
11 Ja, das ist dieser auch als cw-Wert oder Strömungswiderstandskoeffizient bezeichnete, auch im Autobau
verwendete Wert; Beispiele finden sich in [762]. Der Widerstandsbeiwert lässt sich nur experimentell aus der
Reibungskraft (2.19) bestimmen; analytische Verfahren gibt es nicht und numerische Simulationen sind sehr
aufwendig.
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode