Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

6.4. KANALCODIERUNG 315
kommt (die Länge des Codewortes bleibt also erhalten). 9 Die Einzelfehlerwahrscheinlichkeit
p ist damit ein Maß für die Störungsintensität des Kanals (beim Telefon ist p ungefähr 0.2
Promille, bei höherwertigen Verbindungen wie Datex-P oder Datex-L liegt die Fehlerwahrscheinlichkeit
zwischen 1 und 10 pro Million übertragener Bits).
§ 1048 Über diesen binärsymmetrischen Kanal aus Abb. 6.20 werden nun Nachrichten als
Binärzeichen der Länge n übertragen. Nur eine Auswahl aus allen möglichen Wörtern der
Länge n wird vom Codierer erzeugt und dient somit der Informationsübertragung. Im obigen
Beispiel der Codierung mit Paritätsbit werden die ersten 2 von 3 Bits zur Informationsübertragung
benötigt, das dritte Bit wird in Abhängigkeit von den ersten beiden Bits
gewählt. Es gibt noch jeweils vier weitere Worte, die aber nicht verwendet werden, da dann
die gerade Anzahl der Einsen nicht gegeben ist, d.h. nur die Hälfte der mit drei Bit erzeugten
Zeichen wird auch als Code verwendet). Von der geschickten Auswahl der Codewörter hängt
die Qualität eines solchen Codes ab:
Definition 9 Die durch die Kanalcodierung eingebrachte Redundanz ist dann gut genutzt,
wenn kein Paar von Codewörtern sich zu ähnlich ist, d.h. wenn die Hamming-Distanz möglichst
groß wird.
§ 1049 Wenn wir die minimale Hamming-Distanz d in einem Code gefunden haben, so wissen
wir auch, wie viele der Bits noch als falsch erkannt werden können. Mit fe als der Zahl der
erkennbaren Binärzeichenfehler gilt dann
fe = d − 1
oder in Worten
Definition 10 Ein Blockcode mit der minimalen Hamming-Distanz d gestattet die Erkennung
aller Fehler, solange weniger als d Stellen je Wort verfälscht werden.
6.4.5 Kanalcodierung: Fehlererkennung und -korrektur
§ 1050 Bisher haben wir uns auf die Fehlererkennung beschränkt, wir wollen jetzt versuchen
die Möglichkeiten zur Fehlerkorrektur in Abhängigkeit von der Hamming-Distanz zu
beschreiben. Betrachten wir dazu als Beispiel einen vierstelligen Code, aus dem aber nur
zwei Wörter ausgewählt werden, nämlich 0011 und 1100. Die Codierung erfolgt über die
Vorschrift
0 → 0011
1 → 1100
§ 1051 Alle Worte, die sich gegenüber dem ersten Codewort um höchstens ein Bit verändert
haben, fassen wir jetzt in einer Menge A zusammen. Die Menge B enthält alle Wörter, die
sich vom zweiten Codewort nur um höchstens ein Bit unterscheiden. Die verbliebenen Wörter
fassen wir in der Menge C zusammen. Diese drei Mengen sind gegeben durch
A = {0011, 0001, 0010, 0111, 1011}
B = {1100, 0100, 1000, 1110, 1101}
C = {0000, 0101, 0110, 1001, 1010, 1111}
§ 1052 Für die Decodierung eines Zeichens betrachtet man jetzt die Menge, in die das Zeichen
gefallen ist. Alle Zeichen, die in A fallen, werden so interpretiert, dass das ursprünglich
gesendete Zeichen 0011 war, alle Zeichen in B werden dem Zeichen 1100 zugeordnet. Zeichen,
die in C einfallen, werden als falsch erkannt, können aber nicht korrigiert werden, sondern
werden verworfen. Die Decodierungsvorschrift ist
A → 0
B → 1
C → Fehler
9 Formal ist die Annahme der Symmetrie einfach. Je nach Digitallogik (insbesondere Abstand Grenzen der
Pegel) und Art der Störung ist die Symmetrie jedoch nicht zwingend gegeben.
c○ M.-B. Kallenrode 2. Juli 2008