Erdfernerkundung - Numerische Physik: Modellierung

70 KAPITEL 2. SATELLITENBAHNEN
d2y dx
+ 2
dt2 dt
= y − (1 − m)y
r 3 1
− my
r 3 2
mit r1 = � (x + m) 2 + y2 und r2 = � (x − 1 + m) 2 + y2 als den Abständen der Testmasse
von den Massen M und m. Die Bewegungsgleichung ist ähnlich der Bewegungsgleichung eines
geladenen Teilchens in einem konstanten homogenen Magnetfeld und einem elektrischen Feld.
Der zweite Term auf der linken Seite gibt die Coriolisbeschleunigung, auf der rechten Seite
stehen die Zentrifugalbeschleunigung und die Gravitationskraft der beiden schweren Massen.
Diese Terme sind Funktionen nur von (x, y) und können aus einer Potentialfunktion W
abgeleitet werden mit
W (x, y) = − 1
2 (x2 + y 2 1 − m
) − −
r1
m
.
r2
Damit werden die Bewegungsgleichungen zu
d2x − 2dy = −∂W
dt2 dt ∂t
und
d2y + 2dx = −∂W
dt2 dt ∂y .
§ 227 Multiplikation mit 2dx/dt bzw. 2dy/dt und anschließende Integration über die Zeit
liefert 1
2 (x2 + y2 ) = −W (x, y) + C, wobei sich die Integrationskonstante C aus den Anfangsbedingungen
ergibt. Diese Herleitung ist analog zu der Herleitung der Energieerhaltung für
einen Massenpunkt in einem wirbelfreien Kraftfeld. In diesem Fall ist die Jacobi-Konstante C
jedoch nicht die Energie, da wir uns in einem rotierenden Bezugssystem befinden. Zu beachten
ist, dass die Corioliskraft keine Arbeit leistet und damit die Erhaltungsgleichung nicht beeinflusst.
Dennoch ist die Corioliskraft für die Bewegung des Testkörpers von entscheidender
Bedeutung.
§ 228 Da die kinetische Energie niemals negativ werden kann, ergibt sich aus der Erhaltungsgleichung,
dass die Bewegung nur in den Bereichen der (x, y)-Ebene erfolgen kann, in
denen gilt W (x, y) ≤ C. Diese Einschränkungen hängen von der Jacobi-Konstante und damit
von den Anfangsbedingungen ab. Für W = C wird die Grenze eines erlaubten Bereiches definiert,
die sogenannten Hill’s Zero-Velocity Curves. Diese Bezeichnung ergibt sich daraus, dass
der Testkörper diese Kurven nur dann erreichen kann, wenn seine Geschwindigkeit in dem
rotierenden System verschwindet. Um die Topologie dieser erlaubten Bereiche zu verstehen,
sollten wir uns zuerst klar machen, dass −E sehr groß wird, wenn entweder (x 2 +y 2 ), d.h. das
Quadrat des Abstandes der Testmasse vom Ursprung, sehr groß wird, oder wenn entweder
r1 oder r2 sehr klein werden. Wenn daher −C groß ist, muss sich die Testmasse entweder
außerhalb eines großen Kreises mit Radius x 2 + y 2 = −2C aufhalten oder aber innerhalb
eines sehr kleinen Kreises um einen der beiden schweren Körper. Die Radien dieser Kreise
sind jeweils gegeben durch r1 = (m − 1)/C und r2 = −m/C. Im ersten Fall empfindet der
Testkörper die beiden Massen ungefähr als ein Gravitationszentrum, im anderen Fall sieht
der Testkörper nur die eine Masse, die er umkreist.
§ 229 An dieser Stelle ist es sinnvoll, die Punkte zu bestimmen, an denen die Gesamtkraft
auf den Testkörper Null ist, d.h. die Punkte, an denen er im rotierenden Bezugssystem in
Ruhe bleibt. Dazu muss gelten
−∇W = �r − (1 − m) �r1
r3 − m
1
�r2
r3 2
= 0 ,
mit �r=(x, y), �r1 = (x + m, y) und �r2 = (x − 1 + m, y). Da das Massenzentrum im Ursprung
liegt, ist dann �r = (1 − m)�r1 + m�r2. Einsetzen liefert
� � � �
1
1
(1 − m) − 1 �r1 + m − 1 �r2 = 0 . (2.32)
r 3 1
r 3 2
Wenn sich diese Gleichgewichtspunkte nicht auf der x-Achse befinden, so kann die Gleichung
nur dann erfüllt werden, wenn r1 = r2 = 1, d.h. zwei der Gleichgewichtspunkte sind jeweils
die Spitzen eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Basis durch die Strecke zwischen den beiden
schweren Massen gegeben ist (L4 und L5 in Abb. 2.29).
2. Juli 2008 c○ M.-B. Kallenrode